Suite d'Appell

Les conditions suivantes sur la suite de polynômes p sont équivalentes :

• Pour ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$ ,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}p_{n}(x)=np_{n-1}(x)}$

et ${\displaystyle p_{0}(x)}$ est une constante non nulle ;

• Pour une suite ${\textstyle \{c_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$ de scalaires avec ${\displaystyle c_{0}\neq 0}$ ,

${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}c_{k}x^{n-k};}$

• Pour la même séquence de scalaires,

${\displaystyle p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)x^{n},}$

où

${\displaystyle D={\frac {d}{dx}};}$

• Pour ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$ ,

${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{k}(x)y^{n-k}.}$

Supposons que

${\displaystyle p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{c_{k} \over k!}D^{k}\right)x^{n}=Sx^{n},}$

où la dernière égalité définie l'opérateur linéaire ${\displaystyle S}$ sur l'espace des polynômes en ${\displaystyle x}$ . Soit

${\displaystyle T=S^{-1}=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)^{-1}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}D^{k}}$

l'opérateur inverse de S, les coefficients ${\displaystyle a_{k}}$ étant ceux de la réciproque usuelle d'une série formelle, de sorte que

${\displaystyle Tp_{n}(x)=x^{n}.\,}$

Dans les conventions du calcul ombral, cette série formelle ${\displaystyle T}$ est souvent prise comme représentant la suite d'Appel ${\displaystyle p_{n}}$. On peut définir

${\displaystyle \log T=\log \left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}D^{k}\right)}$

en utilisant l'expansion en séries de puissance de ${\displaystyle \log(x)}$ et la composition des séries formelles. Ainsi nous avons

${\displaystyle p_{n+1}(x)=(x-(\log T)')p_{n}(x).\,}$

Dans le cas des polynômes d'Hermite, cela se réduit à la formule de récurrence usuelle les concernant.

L'ensemble de toutes les suites d'Appell est fermé sous l'opération de composition ombrale, définie comme suit. Soit ${\displaystyle \{p_{n}(x),n\geq 0\}}$ et ${\displaystyle \{q_{n}(x),n\geq 0\}}$ des suites polynomiales, données par

${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k}{\text{ et }}q_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}b_{n,k}x^{k}.}$

On définie la composition ombrale ${\displaystyle p\circ q}$ comme la suite polynomiale dont le ${\displaystyle n}$-ième terme est

${\displaystyle (p_{n}\circ q)(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}q_{k}(x)=\sum _{0\leq \ell \leq k\leq n}a_{n,k}b_{k,\ell }x^{\ell }}$

(l'indice ${\displaystyle n}$ apparaît dans ${\displaystyle p_{n}}$, puisque c'est le ${\displaystyle n}$-ième terme de cette séquence, mais pas dans ${\displaystyle q}$, puisqu'il s'agit de la suite dans son ensemble plutôt que d'un de ses termes).

Sous cette opération, l'ensemble de toutes les suites de Sheffer est un groupe non abélien, et l'ensemble de toutes les suites d'Appell forment un sous-groupe abélien de ce dernier.

• suite de Sheffer
• Calcul ombral
• Polynômes d'Appel généralisés

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Appell sequence » (voir la liste des auteurs).
• Appell, « Sur une classe de polynômes », Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 2e Série, vol. 9,‎ 1880, p. 119–144 (lire en ligne)
• Roman et Rota, « The Umbral Calculus », Advances in Mathematics, vol. 27,‎ 1978, p. 95–188 (DOI 10.1016/0001-8708(78)90087-7).
• Rota, Kahaner et Odlyzko, « Finite Operator Calculus », Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 42,‎ 1973, p. 685–760 (DOI 10.1016/0022-247X(73)90172-8) Reprinted in the book with the same title, Academic Press, New York, 1975.
• Steven Roman, The Umbral Calculus, Dover Publications
• Theodore Seio Chihara, An Introduction to Orthogonal Polynomials, Gordon and Breach, New York, 1978 (ISBN 978-0-677-04150-6)

•  (en) « Suite d'Appell », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)