Spaghettification

Cela montrera que la force de marée entraîne une augmentation de la spaghettification si :

• l'augmentation de la masse est importante ;
• la longueur de l'objet tombant dans le sens des accélérations augmente. En d'autres termes, la force de marée est un problème plus important pour les objets de grande taille que pour les petits ;
• l'objet qui tombe est plus proche de la masse importante.

L'approfondissement et la démonstration nécessitent un calcul différentiel pour les deux dernières assertions. Et l'étude secondaire algébrique suffit à expliquer ces principes.

Loi de Newton sur la gravitation spécifie que : ${\displaystyle F={\frac {GMm}{R^{2}}}}$ où :

• F est la force de la force de gravitation entre deux objets,
• G est la constante de gravitation, (*)
• M est la masse de l'objet le plus gros ici,
• m est la masse de l'objet le plus petit ici,
• R est la distance entre les deux objets.

Maintenant, calculons la différence entre les forces gravitationnelles sur les parties d'un objet qui tombe, de la plus proche à la plus éloignée d'un trou noir. Cela signifie que nous devons calculer la force gravitationnelle sur chacune des deux parties. Donc nous avons besoin de définir des modèles pour toutes les variables dans le calcul. Pour simplifier, nous allons imaginer que ces deux parties de l'objet qui tombe ont les mêmes taille et masse.

Nous allons maintenant faire deux copies de l'équation de Newton pour chacune des parties de l'objet qui tombe :

${\displaystyle F_{n}={\frac {GMm}{R_{n}^{2}}}}$ (*)

${\displaystyle F_{n+x}={\frac {GMm}{(R_{n}+x)^{2}}}}$ (*)

(*) L'accélération gravitationnelle G n'est pas constante dans ce cas de figure, et est fonction de R², mais ceci ne fait qu'augmenter le phénomène d'un facteur carré à cube - Si la distance entre les masses est divisée par 2, G est multiplié par 4 et la force de marée par 8, et si cette distance est divisée par 10, G est multiplié par 100 et la force de marée par 1000. Néanmoins pour simplifier nous considérerons G comme constant, et l'influence de la distance suffit déjà à la démonstration ainsi.

La tension entre la plus proche et la plus éloignée des parties serait donc ainsi simplifiée : ${\displaystyle F_{n}-F_{n+x}={\frac {GMm}{R_{n}^{2}}}-{\frac {GMm}{(R_{n}+x)^{2}}}}$

que nous pouvons remanier sous une forme plus abordable : ${\displaystyle F_{n}-F_{n+x}={GMm}\left({\frac {1}{R_{n}^{2}}}-{\frac {1}{(R_{n}+x)^{2}}}\right)}$

Donc, la tension en vigueur, à savoir la force de marée, devient plus importante :

• si la masse importante M augmente : les trous noirs ont des masses énormes, de sorte que la force de marée y est très forte ;
• si la valeur de 1 / Rn² - 1 / (Rn + x)² augmente.

Il est évident que 1 / Rn² - 1 / (Rn + x)² augmente si x augmente, car une augmentation de x rend 1 / (Rn + x)² plus petit. En d'autres termes, la tension augmente si la longueur du corps augmente.

Il est aussi évident que si Rn diminue 1 / Rn² - 1 / (Rn + x)² augmente alors. Dans le cas extrême où Rn est égal à zéro (lorsque la partie la plus proche de l'objet frappe la singularité), la valeur de 1 / Rn² devient infinie alors que la valeur de 1 / (Rn + x)² est toujours finie. Ainsi, la force de marée qui provoque la spaghettification se renforce d'autant plus rapidement que l'objet tombe près de la singularité.

N.B. : Aussi, pour être complet, il faudrait intégrer l'augmentation de G dans le phénomène, le rapprochement affineur des bords de l'objet, qui augmentent tous deux sa dynamique. Mais surtout l'augmentation de la vitesse de l'objet à l'approche du trou noir due à une augmentation de G phénoménale, et des distorsions de masse et de temps induites alors dans le phénomène. Ce calcul très simplifié n'aborde qu'un aspect du problème, qui comporte de nombreuses intrications.

• (en) Melia, Fulvio, The Black Hole at the Center of Our Galaxy, Princeton, Princeton University Press, 2003, 189 p. (ISBN 978-0-691-09505-9, lire en ligne)
• (en) Neil % DeGrasse Tyson: Death by Black Hole (clear explanation of the term)