Secteur sphérique

Secteur sphérique (en bleu) en perspective et en vue de face

Si on note r le rayon de la sphère et h la hauteur de la calotte sphérique, le volume du secteur sphérique est[3]: ${\displaystyle V={\frac {2\pi r^{2}h}{3}}\,.}$

Ce volume peut également s'exprimer à l'aide de l'angle au sommet φ du cône (c'est-à-dire l'angle entre l'axe de rotation du cône et une de ses génératrices) : ${\displaystyle V={\frac {2\pi r^{3}}{3}}(1-\cos \varphi )\,.}$

Enfin, ce volume est entièrement déterminé par le rayon r de la sphère et l'aire A' de la calotte sphérique par la formule: ${\displaystyle V={\frac {rA'}{3}}\,.}$

Il est lié à l'angle solide ${\displaystyle \Omega }$ du cône par la formule : ${\displaystyle V=\Omega {\frac {r^{3}}{3}}}$

Le théorème de Guldin permet de relier ce volume avec l'aire s et le centre de gravite G' du secteur circulaire engendrant par rotation le secteur sphérique. Si d est la distance entre G' et l'axe de rotation on a : ${\displaystyle V=2\pi \times s\times d\,,}$ avec ${\displaystyle s={\frac {1}{2}}r^{2}\theta \,,}$ ${\displaystyle MG'={\frac {2}{3}}{\frac {\sin(\theta /2)}{\theta /2}}\cdot r\,,}$ ${\displaystyle d=MG'\times \sin(\theta /2)={\frac {2}{3}}{\frac {1-\cos \theta }{\theta }}\cdot r\,.}$ Ce qui donne : ${\displaystyle V=2\pi \times {\frac {1}{3}}(1-\cos \theta )r^{3}\,.}$

L'aire de la surface enveloppant le secteur sphérique est constituée de la somme de l'aire de la surface conique et de l'aire A' de la calotte sphérique[3]: ${\displaystyle A=\pi ra+2\pi rh=\pi r(a+2h)\,,}$ où a est le rayon du cercle faisant la jonction entre les deux surfaces.

Comme dans tout solide de révolution, le centre de gravité G d'un secteur sphérique est situé sur l'axe de révolution. Il est à une distance du centre M donnée par la formule[4]: ${\displaystyle MG={\frac {3}{8}}(2r-h)\,.}$

En coordonnées sphériques, le volume peut être calculé en intégrant l'élément de volume ${\displaystyle dV=\rho ^{2}\sin \phi \,d\rho \,d\phi \,d\theta }$ avec

• ${\displaystyle \theta }$ variant de 0 à 2π
• ${\displaystyle \rho }$ variant de 0 à r
• ${\displaystyle \phi }$ variant de 0 à φ où φ est l'angle au sommet du cône (c'est-à-dire l'angle entre l'axe de rotation du cône et une de ses génératrices)

${\displaystyle V=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\varphi }\int _{0}^{r}\rho ^{2}\sin \phi \,d\rho \,d\phi \,d\theta =\int _{0}^{2\pi }d\theta \times \int _{0}^{\varphi }\sin \phi \,d\phi \times \int _{0}^{r}\rho ^{2}\,d\rho =2\pi \times \left[\cos \phi \right]_{0}^{\varphi }\times \left[{\frac {\rho ^{3}}{3}}\right]_{0}^{r}={\frac {2\pi r^{3}}{3}}(1-\cos \varphi )\,.}$

L'intégrale a pu être décomposée en un produit de trois intégrales car l'intégrande est composé d'un produit de trois termes contenant chacun une seule variable.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Spherical sector » (voir la liste des auteurs).