Racine carrée d'une matrice
En mathématiques, la notion de racine carrée d'une matrice particularise aux anneaux de matrices carrées la notion générale de racine carrée dans un anneau.
Définition
Soient un entier naturel n non nul et M une matrice carrée d'ordre n à coefficients dans un anneau A. Un élément R de Mn(A) est une racine carrée de M si R2 = M.
Une matrice donnée peut n'admettre aucune racine carrée, comme un nombre fini voire infini de racine carrées.
Exemples
Dans M2(â) :
- est une racine carrée de
- les (pour tout réel x) sont des racines carrées de
- n'a pas de racine carrĂ©e R, car cela imposerait (mais elle en a dans M2(â)).
Dans M2(â), la matrice n'a pas de racine carrĂ©e, parce qu'elle est non nulle mais de carrĂ© nul (on dit qu'elle est nilpotente d'indice 2). En effet, une racine carrĂ©e R serait aussi nilpotente (de puissance 4e nulle), or toute matrice nilpotente de taille 2 est de carrĂ© nul. On aurait donc M = R2 = 0, ce qui n'est pas le cas.
Inverse
Si R est une racine carrée de M alors R est inversible si et seulement si M l'est.
Si une matrice est inversible, les racines carrées de son inverse sont les inverses de ses racines carrées.
Matrice positive
Toute matrice symĂ©trique Ă coefficients rĂ©els est diagonalisable via une matrice de passage orthogonale, et elle est positive si et seulement si ses valeurs propres sont des rĂ©els positifs ou nuls. Par ailleurs, si une matrice S est diagonalisable alors son carrĂ© a mĂȘmes sous-espaces propres (associĂ©s aux carrĂ©s des valeurs propres de S). Par consĂ©quent, parmi les racines carrĂ©es d'une matrice symĂ©trique positive M, une et une seule est symĂ©trique positive : la matrice S qui a mĂȘmes sous-espaces propres que M et dont les valeurs propres associĂ©es sont les racines carrĂ©es respectives de celles de M. De plus, lorsque M est dĂ©finie positive, S l'est aussi.
Pour les matrices Ă coefficients complexes, la situation est la mĂȘme en remplaçant « symĂ©trique » par « hermitienne » et « orthogonale » par « unitaire » .
Algorithme de calcul de Denman-Beavers
Le calcul d'une racine carrĂ©e d'une matrice A peut s'effectuer par convergence d'une suite de matrices. Soit Y0 = A et Z0 = I oĂč I est la matrice identitĂ©. Chaque itĂ©ration repose sur :
La convergence n'est pas garantie (mĂȘme si A possĂšde une racine carrĂ©e) mais si elle a lieu alors la suite Yk converge de façon quadratique vers A1/2, tandis que la suite Zk converge vers son inverse, Aâ1/2[1] - [2].
Racine carrée d'un opérateur positif
En thĂ©orie des opĂ©rateurs (en), un opĂ©rateur bornĂ© P sur un espace de Hilbert complexe est positif (en) si et seulement s'il existe (au moins) un opĂ©rateur bornĂ© T tel que P = T* T, oĂč T* dĂ©signe l'adjoint de T[3]. En fait, si P est positif, il existe mĂȘme un unique opĂ©rateur Q positif (donc autoadjoint) tel que P = Q2[3]. Cet opĂ©rateur Q, obtenu par calcul fonctionnel continu, est appelĂ© la racine carrĂ©e de P et appartient au bicommutant de P[3].
Notes et références
- (en) Eugene D. Denman et Alex N. Beavers, « The matrix sign function and computations in systems », Applied Mathematics and Computation, vol. 2, no 1,â , p. 63â94 (DOI 10.1016/0096-3003(76)90020-5).
- (en) Sheung Hun Cheng, Nicholas J. Higham, Charles S. Kenney et Alan J. Laub, « Approximating the Logarithm of a Matrix to Specified Accuracy », SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, vol. 22, no 4,â , p. 1112â1125 (DOI 10.1137/S0895479899364015, lire en ligne [PDF]).
- (en) Ronald G. Douglas, Banach Algebra Techniques in Operator Theory, Springer, coll. « GTM » (no 179), , 2e éd. (1re éd. 1972) (lire en ligne), p. 86-87.