Décomposition polaire
La décomposition polaire est un outil mathématique fondamental pour comprendre les propriétés topologiques des groupes linéaires réels et complexes.
Décomposition polaire d'une matrice réelle
- Les applications suivantes sont des homéomorphismes, et même des difféomorphismes.
- En particulier, toute matrice inversible réelle se décompose de façon unique en produit d'une matrice orthogonale et d'une matrice symétrique définie positive[1].
- Les applications suivantes sont surjectives mais non injectives :
Décomposition polaire d'une matrice complexe
- Les applications suivantes sont des homéomorphismes, et même des difféomorphismes.
- En particulier, toute matrice inversible complexe se décompose de façon unique en produit d'une matrice unitaire et d'une matrice hermitienne définie positive[2] - [3].
- Les applications suivantes sont surjectives mais en général non injectives :
- En particulier, toute matrice complexe se décompose en produit d'une matrice unitaire et d'une unique matrice hermitienne positive (mais pas nécessairement de façon unique)[2].
Remarque. Pour n = 1, on retrouve l'écriture d'un nombre complexe non nul. C'est la raison du nom de décomposition polaire : c'est une sorte de généralisation des coordonnées polaires.
Application
L'ensemble des matrices symétriques ou hermitiennes définies positives est convexe (2 matrices symétriques positives sont reliées par un segment à valeur dans dans SO(R)) donc contractile. Il en résulte que a le même type d'homotopie que et que a le même type d'homotopie que .
Notes et références
- Cette propriété est démontrée par exemple dans le .
- Cette propriété est démontrée par exemple dans le .
- Voir aussi .
- Rached Mneimné et Frédéric Testard, Introduction à la théorie des groupes de Lie classiques [détail des éditions] p. 18-20
- Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles [détail des éditions] p. 48 et 330 de l'éd. 2010 : « Décomposition de Cartan du groupe linéaire »
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