Régression géographiquement pondérée

Formellement, le modèle peut s'écrire, en tout point (i,j) de l'espace géographique étudié :

${\displaystyle y(i,j)=X\beta (i,j)+\epsilon (i,j)}$ où les ${\displaystyle \beta (i,j)}$ sont estimés par :

${\displaystyle {\hat {\beta }}(i,j)=(X^{T}W(i,j)X)^{-1}X^{T}W(i,j)y}$

La matrice ${\displaystyle W(i,j)={\begin{pmatrix}w_{1}(i,j)&0&\cdots &\cdots &0\\0&\cdots &w_{k}(i,j)&\cdots &0\\0&\cdots &\cdots &\cdots &w_{m}(i,j)\end{pmatrix}}}$ où chaque ${\displaystyle w_{k}(i,j)}$ est porteur de la dépendance spatiale locale et s'exprime à l'aide d'une fonction noyau (« kernel ») du type gaussienne comme par exemple ${\displaystyle w_{k}(i,j)=e^{-0,5({\frac {d_{k}(i,j)}{h}})^{2}}}$ où ${\displaystyle d_{k}(i,j)}$ est une mesure de la distance entre la ${\displaystyle k^{{\grave {e}}me}}$ observation et le point de coordonnées spatiales (i,j), h est largeur de bande[2].

L'utilisation de cette régression est conseillée dès que le résidu est géographiquement dépendant[3]. On l'utilise donc dans la fouille de données spatiales.

La distance utilisée pour décrire la diminution du poids avec l'éloignement peut être la distance euclidienne quand les points sont repérés en coordonnées cartésienne ou bien la distance du grand cercle quand les coordonnées sphériques sont employées[2].