Puissance résiduelle

Évolution de la puissance résiduelle suivant différentes corrélations - échelle linéaire.

Plusieurs corrélations ont été proposées pour évaluer la puissance résiduelle, dont les plus classiques sont présentées ci-après.

• Notations utilisées :

  Wr = puissance résiduelle

  Po = puissance du réacteur avant l'arrêt

  d = durée de fonctionnement du réacteur

  t = temps écoulé depuis l'arrêt du réacteur

  Origine des temps = Instant d'arrêt du réacteur

• Les modèles supposent un fonctionnement à puissance constante ; si le réacteur a effectué plusieurs paliers de puissance, il convient d’additionner les contributions de chaque palier.
• Une première formule approchée a été élaborée par Way et Wigner en 1946[1] - [2]

${\displaystyle {Wr(t) \over P_{o}}=0,0622*(t^{-0,2}-(d+t)^{-0,2})}$ avec ${\displaystyle t}$ et ${\displaystyle d}$ en secondes applicable entre 10 s et 100 jours post arrêt

• Corrélation de Todreas Kazimi (reprise / correction de la corrélation de Way - Wigner par augmentation de 6 % du coefficient en facteur) :

${\displaystyle {Wr(t) \over P_{o}}=0,066*(t^{-0,2}-(d+t)^{-0,2})}$ avec ${\displaystyle t}$ et ${\displaystyle d}$ en secondes applicable entre 10 s et 100 jours post arrêt

• Corrélation de Todreas Rust

${\displaystyle {Wr(t) \over P_{o}}=0,1*\left[(t+10)^{-0,2}-(t+d+10)^{-0,2}-0,87*\left((t+2E7)^{-0,2}-(t+d+2E7)^{-0,2}\right)\right]}$ avec ${\displaystyle t}$ et ${\displaystyle d}$ en secondes applicable entre 1 s et 10 jours post arrêt

Évolution de la puissance résiduelle suivant différentes corrélations - échelle logarithmique.

• Corrélation générale

${\displaystyle {Wr(t) \over P_{o}}=a*(t^{-b}-(d+t)^{-b})}$ de t = 0,1 à 10 s, a = 0,06025 b = 0,6390 de t = 10 à 150 s, a = 0,07655 b = 0,1807 de t = 150 à 8E8 s, a = 0,13715 b = 0,2962 applicable entre 0,1 s et 1 an post-arrêt

Les corrélations en${\displaystyle .\;t^{-0,2}\;.}$trouvent une justification dans la règle semi-empirique de Sargent, du nom du physicien canadien Bernice Weldon Sargent (en) qui énonça dans les années 1930 la règle suivant laquelle la vie moyenne d'un émetteur bêta[Note 7] est inversement proportionnelle à la puissance 5 de l'écart d'énergie de cohésion entre l'atome père et l'atome fils : ${\displaystyle .\quad \lambda \div \delta E^{5}\quad .}$ Suivant cette règle, on peut admettre que la chaleur dégagée à l'instant t après arrêt du réacteur par les produits de fission de vie moyenne égale à t formés à l'instant (o) d'arrêt du réacteur, est proportionnelle à ${\displaystyle .\;t^{-1}*t^{-0,2}\;.}$ ;avec ${\displaystyle .\;t^{-1};.}$ proportionnel à la quantité et ${\displaystyle .\;t^{-0,2}\;.}$ proportionnel à l'énergie[Note 8]. De la même façon, la chaleur des produits de fission de vie moyenne égale à t - u, formés au cours du palier de puissance dans l'intervalle de temps u ; u + du est proportionnelle à ${\displaystyle .\quad dWr\div (t-u)^{-1,2}\quad .}$ (u est négatif). On fait alors l'hypothèse que dans l'ensemble des produits de fission, les vies moyennes sont équiprobables d'où

${\displaystyle .\quad Wr(t)\div \int \limits _{-d}^{0}(t-u)^{-1,2}*du\div \left(t^{-0,2}-(t+d)^{-0,2}\right)\quad .}$

Le coefficient de proportionnalité (voisin de 0,066) découle assez simplement de la valeur de l'énergie en bêta et gamma différés dans la décomposition de l'énergie de fission récupérable en réacteur, soit 7,4 % environ, en tenant compte de ce que les formules en t^-0,2 ne sont de toutes façons pas calculables au voisinage de t = 0.

Il est par ailleurs assez remarquable qu'une approche aussi simpliste conduise à un résultat aussi voisin de la réalité constatée.

Un calcul plus complet consiste à modéliser la puissance produite par les produits de fissions comme la somme de celles de groupes de corps de périodes régulièrement étagées. À chaque groupe est associé une contribution à la puissance dégagée qui rend compte du nombre d'atomes désintégrés et de l'énergie correspondante. Par exemple un regroupement en dix groupes est souvent utilisé et donne d'assez bons résultats. Dans ce calcul simplifié l'effet des neutrons retardés et des actinides peut être pris en compte, les contributions respectives à la puissance thermique totale sont confondues avec celles des groupes 1, 2 et 10 respectivement.

Le modèle consiste ; en un premier temps à évaluer la contribution à la puissance instantanée de chacun des groupes à l'instant d'arrêt du réacteur compte tenu de l'histogramme de puissance antérieur ; en un second temps à évaluer la puissance de chacun des groupes postérieurement à l'arrêt du réacteur. L'origine des temps est placée à l'instant d'arrêt.

• On raisonne tout d'abord dans le cas où il n'y aurait qu'un seul groupe de radionucléides et un seul palier de puissance.
  La quantité de radionucléides dQ produite durant l'intervalle de temps dt dans le cours du palier est proportionnelle à la puissance et égale à ${\displaystyle .\qquad dQ=\alpha *P*dt\qquad .}$À l'issue du palier, cette quantité dQ devient ${\displaystyle dQ*e^{\lambda *t}\qquad .}$ (l'origine des temps étant à la fin du palier, t est négatif). La quantité de radionucléides à l'issue d'un palier de durée d, effectué à la puissance P constante est égale à

${\displaystyle Q(o)=\int _{-d}^{o}dQ*e^{\lambda *t}=\int _{-d}^{o}\alpha *P*e^{\lambda *t}*dt={\alpha \over \lambda }*P*(1-e^{-\lambda *d})}$

Si e est l'énergie de désintégration, la puissance résiduelle émise par la quantité Q de radionucléides présents à la fin du palier est égale à ${\displaystyle .\qquad Wr(o)=\lambda *Q*e=e*\alpha *P*(1-e^{-\lambda *d})\qquad .}$. A l'instant t post arrêt du réacteur la puissance résiduelle vaut :

${\displaystyle Wr(t)=Wr(o)*e^{-\lambda *t}=e*\alpha *P*(1-e^{-\lambda *d})*e^{-\lambda *t}\qquad .}$

L'énergie dégagée à l'instant t après arrêt du réacteur (E(t)) prend la valeur simple

${\displaystyle E(t)=Wr(o)*(1-e^{-\lambda *t})}$

• S'il y a plusieurs paliers de puissance successifs, la formule est aisément généralisable par simple sommation. Par exemple dans un histogramme à trois paliers de puissance P1, P2, P3 et de durées respectives d1, d2,d3 on additionne les contributions respectives de chacun des paliers à l'instant d'arrêt du réacteur en tenant compte de la décroissance des radionucléides produit durant le premier palier au cours des deux derniers paliers et ainsi de suite ; on aura donc :

${\displaystyle Q(o)=Q1(o)+Q2(o)+Q3(o)=\alpha *[P1*(1-e^{-\lambda *d1})*e^{-\lambda *(d2+d3)}+P2*(1-e^{-\lambda *d2})*e^{-\lambda *d3}+P3*(1-e^{-\lambda *d3})]}$

${\displaystyle Wr(o)=e*Q(o)=e*\alpha *[P1*(1-e^{-\lambda *d1})*e^{-\lambda *(d2+d3)}+P2*(1-e^{-\lambda *d2})*e^{-\lambda *d3}+P3*(1-e^{-\lambda *d3})]}$

${\displaystyle Wr(t)=e*\alpha *[P1*(1-e^{-\lambda *d1})*e^{-\lambda *(d2+d3)}+P2*(1-e^{-\lambda *d2})*e^{-\lambda *d3}+P3*(1-e^{-\lambda *d3})]*e^{-\lambda *t}}$

• On tient compte maintenant des 10 groupes de radionucléides par sommation de la contribution de chaque groupe.

${\displaystyle Wr(t)=\sum _{i=1}^{10}Wri(t)}$

Les valeurs des termes (ei × αi) de i = 1 jusqu'à 10 sont données dans le tableau ci-après dans un cas typique. L'évaluation correspondante est correcte, cependant dans le cas d'un calcul de sûreté il convient de majorer le résultat de façon forfaitaire en multipliant par 1,246. Ce coefficient est le produit de trois facteurs :

• une incertitude générale sur la puissance thermique estimée à 1,03 ;
• un écart entre le résultat du calcul complet et la réalité estimé à 1,1 ;
• un écart de calcul entre le modèle complet et le calcul simplifié (comparaison « code à code » estimée à 1,1).

En résulte le coefficient global de majoration du résultat, égal à 1,246, qui permet d’assurer que le résultat du calcul est bien supérieur à la puissance thermique résiduelle à tous les instants post arrêt du réacteur

• L'énergie dégagée post-arrêt E(t) est également aisément calculable par sommation

${\displaystyle E(t)=\sum _{i=1}^{10}{Wri(o) \over \lambda _{i}}*(1-e^{-\lambda _{i}*d3})*e^{-\lambda _{i}*t}}$

${\displaystyle E(\infty )=\sum _{i=1}^{10}{Wri(o) \over \lambda _{i}}}$