Propriété virtuelle

Tout groupe diédral généralisé est virtuellement abélien, puisque c'est un produit semi-direct N⋊H d'un groupe abélien N par un groupe fini H.

Tout groupe virtuellement abélien est virtuellement nilpotent, puisque tout groupe abélien est nilpotent.

• Tout groupe virtuellement « cyclique » (à prendre dans toute cette page au sens : monogène) est virtuellement ${\displaystyle 1}$ ou ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ donc virtuellement libre.
• Tout produit libre de deux groupes finis est virtuellement libre[1]. (Par exemple, le groupe modulaire ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )\simeq \mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{3}}$ ou le groupe diédral infini ${\displaystyle D_{\infty }\simeq \mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{2}\simeq \mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z} _{2}}$.)
• Il résulte du théorème de Stallings sur les bouts d'un groupe que tout groupe sans torsion virtuellement libre est libre.

• Tout groupe virtuellement cyclique, c'est-à-dire admettant un sous-groupe cyclique H d'indice fini, admet un sous-groupe normal cyclique d'indice fini : le cœur de H.
• Un groupe est donc virtuellement cyclique si et seulement s'il est fini ou admet un sous-groupe normal d'indice fini isomorphe à ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.
• Par ailleurs, G est virtuellement cyclique si et seulement s'il a un sous-groupe normal fini N tel que le quotient G/N soit isomorphe à ${\displaystyle 1,\mathbb {Z} }$ ou ${\displaystyle D_{\infty }}$[2] - [3] - [4].

Tout sous-groupe d'un groupe polycyclique (en) est polycyclique, puisque[5] tout sous-groupe d'un groupe cyclique est cyclique.

Par conséquent (en utilisant le cœur comme ci-dessus), tout groupe virtuellement polycyclique admet un sous-groupe normal polycyclique d'indice fini.

• Le groupe libre ${\displaystyle F_{2}}$ à 2 générateurs est virtuellement ${\displaystyle F_{n}}$ pour tout ${\displaystyle n\geq 2}$ ; c'est une conséquence du théorème de Nielsen-Schreier et de la formule de Schreier.
• Théorème d'Agol : toute 3-variété hyperbolique (en) compacte, orientable, irréductible est virtuellement une variété de Haken (en). Elle possède également les propriétés virtuelles plus fortes suivantes : son premier nombre de Betti est virtuellement non nul, et elle est virtuellement un tore d'homéomorphisme d'une surface.

• (en) Hans Rudolf Schneebeli, « On virtual properties and group extensions », Mathematische Zeitschrift, vol. 159, n^o 2,‎ 1978, p. 159-167 (DOI 10.1007/bf01214488, zbMATH 0358.20048, lire en ligne)
• (en) John R. Stallings, « Groups of dimension 1 are locally free », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 74,‎ 1968, p. 361-364 (lire en ligne)
• (en) F. Thomas Farrell (en) et Lowell E. Jones (en), « The lower algebraic K-theory of virtually infinite cyclic groups », K-Theory, vol. 9, n^o 1,‎ 1995, p. 13-30
• (en) Daniel Juan-Pineda et Ian Leary, « On classifying spaces for the family of virtually cyclic subgroups », dans Recent Developments in Algebraic Topology, Providence, RI, AMS, coll. « Contemp. Math. » (n^o 407), 2006, p. 135-145
• (en) Wolfgang Lück (en), « Survey on classifying spaces for families of subgroups », dans Infinite groups: geometric, combinatorial and dynamical aspects, Bâle, Birkhäuser, coll. « Progr. Math. » (n^o 248), 2005, p. 269-322
• (en) Ian Agol, « The virtual Haken conjecture. With an appendix by Agol, Daniel Groves, and Jason Manning », Doc. Math., vol. 18,‎ 2013, p. 1045-1087 (MR 3104553, lire en ligne)

(en) Ian Agol, « Virtual Properties of 3-Manifolds »