Produit matriciel de Hadamard

Formellement, pour deux matrices de mêmes dimensions

${\displaystyle A,B\in {\mathbb {C} }^{m\times n}}$

le produit de Hadamard ${\displaystyle A\cdot B}$ est une matrice

${\displaystyle A\cdot B\in {\mathbb {C} }^{m\times n},}$

dont les coefficients sont

${\displaystyle (A\cdot B)_{i,j}=(A)_{i,j}\times (B)_{i,j}.}$

• Le produit de Hadamard est commutatif, associatif et distributif sur l'addition :
  • ${\displaystyle A\cdot B=B\cdot A,}$
  • ${\displaystyle A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C,}$
  • ${\displaystyle A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C.}$
• L'élément neutre pour le produit de Hadamard de deux matrices de taille m × n est une matrice m × n dont tous les éléments sont égaux à 1, contrairement à la matrice identité, qui est l'élément neutre du produit matriciel classique et dont les coefficients valent 1 sur la diagonale et 0 sinon. Ainsi, une matrice admet une inverse pour le produit de Hadamard si et seulement si tous ses éléments sont non nuls[2].
• ${\displaystyle (A\cdot B)^{T}=A^{T}\cdot B^{T}\quad {\rm {et}}\quad (A\cdot B)^{*}=A^{*}\cdot B^{*}}$, où M^T (respectivement M*) désigne la matrice transposée (resp. la matrice adjointe) de M. En particulier, le produit de Hadamard de deux matrices n × n symétriques (resp. hermitiennes) est une matrice symétrique (resp. hermitienne).
• Si D est diagonale alors ${\displaystyle D(A\cdot B)=(DA)\cdot B.}$
• En notant e_j le j-ème vecteur de la base canonique de ℂⁿ et, pour tout vecteur x, D_x la matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont les coordonnées de x, on remarque que l'élément d'indice i, j du produit de Hadamard est égal au i-ème élément diagonal de AD_ejB^T :${\displaystyle (A\cdot B)_{i,j}=(AD_{e_{j}}B^{T})_{i,i}=\mathrm {Tr} (D_{e_{i}}AD_{e_{j}}B^{T}).}$On en déduit immédiatement :
  • ${\displaystyle x^{*}(A\cdot B)y=\mathrm {Tr} (D_{x}^{*}AD_{y}B^{T})}$[3] ;
  • la somme des coefficients de la i-ème ligne du produit de Hadamard est égale au i-ème élément diagonal de AB^T[4] :${\displaystyle \sum _{j}(A\cdot B)_{i,j}=(AB^{T})_{i,i}.}$
  • la somme de tous les éléments du produit de Hadamard est la trace de AB^T.
• Le produit de Hadamard est une sous-matrice principale du produit de Kronecker.

Le produit de Hadamard de deux matrices n × n hermitiennes positives (resp. définies positives) est une matrice (n × n) hermitienne positive (resp. définie positive)[4]. C'est le théorème du produit de Schur[2] démontré pour la première fois[5] par Issai Schur[6].

Pour deux matrices hermitiennes positives A et B, on a aussi

${\displaystyle \det(A\cdot B)\geq \det(AB)}$[4] - [7].

Le produit de Hadamard est utilisé en compression de données comme le JPEG.