Produit d'anneaux

Cette construction peut se faire de la manière suivante : si (A_i)_i∈I est une famille d'anneaux, le produit cartésien Π_i∈I A_i peut être muni d'une structure d'anneau en définissant les opérations composante par composante, i.e.

(a_i) + (b_i) = (a_i + b_i)

(a_i) · (b_i) = (a_i · b_i)

1_{Πi∈I Ai} = (1_Ai)_i∈I

À la place de Π_1≤i≤k A_i nous pouvons aussi écrire A₁ × A₂ × … × A_k.

Un exemple est l'anneau ℤ/nℤ des entiers modulo n. Si n s'écrit comme un produit de puissances de facteurs premiers (voir le théorème fondamental de l'arithmétique) :

n = p₁^n₁ p₂^n₂ ... p_k^n_k

où les p_i sont des nombres premiers distincts, alors ℤ/nℤ est isomorphe à l'anneau produit

${\displaystyle \mathbb {Z} /{p_{1}}^{n_{1}}\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /{p_{2}}^{n_{2}}\mathbb {Z} \times \cdots \mathbb {Z} /{p_{k}}^{n_{k}}\mathbb {Z} .}$

Cela découle du théorème des restes chinois.

Si A = Π_i∈I A_i est un produit d'anneaux, alors pour tout i dans I nous avons un morphisme surjectif p_i : A → A_i qui projette un élément du produit sur sa i-ième composante. Le produit A muni des projections p_i possède la propriété universelle du produit dans la catégorie des anneaux :

si B est un anneau quelconque et si, pour tout i dans I, f_i : B → A_i est un morphisme d'anneaux, alors il existe un unique morphisme d'anneaux f : B → A tel que pour tout i dans I, p_i ∘ f = f_i.

Si, pour tout i, I_i est un idéal (à gauche, à droite ou bilatère) de A_i alors Π_i∈I I_i est un idéal (à gauche, à droite ou bilatère respectivement) de A. Tout idéal de A est de cette forme si et seulement si presque tous les A_i sont nuls (c'est-à-dire : tous sauf un nombre fini). Dans un produit infini d'anneaux non nuls, l'idéal des éléments de support fini n'est pas de cette forme.

Un idéal de la forme Π_i∈I I_i est premier dans A si et seulement si l'un des I_i est premier dans l'anneau A_i correspondant et pour tout autre indice j, I_j = A_j.

Un élément x de A est inversible si et seulement si toutes ses composantes sont inversibles, i.e. si et seulement si p_i(x) est un élément inversible de A_i pour tout i de T. Le groupe des éléments inversibles de A est le produit des groupes des inversibles des A_i.

Un produit de plus d'un anneau non nul a toujours des diviseurs de zéro : si x est un élément du produit dont les composantes sont nulles sauf p_i(x), et y est un élément du produit dont toutes les composantes sont nulles sauf p_j(y) (avec i ≠ j), alors xy = 0 dans l'anneau produit.