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ProblĂšme du vendeur de journaux

Le problĂšme dit « problĂšme du vendeur de journaux » est un modĂšle mathĂ©matique simple en recherche opĂ©rationnelle (microĂ©conomie) concernant le volume Ă©conomiquement optimal du stock d’un bien qui sera proposĂ© Ă  une demande alĂ©atoire.

L’analyse de ce problĂšme acadĂ©mique montre que, lorsque des phĂ©nomĂšnes stochastiques interviennent dans les donnĂ©es d’un problĂšme d’optimisation, le fait de remplacer ces variables alĂ©atoires par leurs espĂ©rances respectives dĂ©nature les rĂ©sultats et conduit Ă  une sous-optimisation. La simplification avantageuse (en termes de rĂ©solution) d’une formulation dĂ©terministe d’un problĂšme qui ne l’est pas peut induire des prises de dĂ©cision erronĂ©es et coĂ»teuses.

Cadre du problĂšme

Au début de sa journée, un vendeur itinérant achÚte un certain nombre de journaux au prix unitaire afin de les vendre à la criée aux passants des rues, ceci à un prix unitaire (hypothÚse).

Ne connaissant pas prĂ©cisĂ©ment le volume de ses ventes, le vendeur cherche Ă  dĂ©terminer la quantitĂ© lui permettant de maximiser l’espĂ©rance de son profit acquis durant sa journĂ©e :

  • s’il choisit trop grand, il lui restera des journaux invendus qu’il aura achetĂ© au prix pour les jeter en fin de journĂ©e.
  • s’il choisit trop petit, il restera des acheteurs potentiels, soit autant de ventes perdues.

Formulations

Stochastique

La fonction objectif (Ă  maximiser) est l’espĂ©rance du profit qui, en fonction de la quantitĂ© choisie, s’écrit

oĂč la densitĂ© de probabilitĂ© de la variable alĂ©atoire de la demande.

Les deux premiers termes rĂ©pertorient les situations oĂč la demande est infĂ©rieure (respectivement supĂ©rieure) aux disponibilitĂ©s; le troisiĂšme terme concerne les coĂ»ts d’acquisition.

Le maximum de est atteint pour le choix optimal défini par la relation implicite :

oĂč est la fonction de rĂ©partition cumulative de la demande dĂ©finie par

En effet, pour tout , on vérifie :

Dans cette derniÚre relation, en posant (avec ), on déduit le profit espéré maximal :

Conséquemment, il existe un choix conduisant à un profit espéré positif.

DĂ©terministe

Bien que la demande soit alĂ©atoire, on suppose qu’elle est dĂ©terministe, Ă©gale Ă  sa valeur espĂ©rĂ©e notĂ©e et de variance nulle. Dans un contexte plus gĂ©nĂ©ral (et plus complexe), le but d’une telle approximation est de simplifier la rĂ©solution. Pour le vendeur de journaux, la fonction objectif (d'une formulation dĂ©terministe) s’écrit alors[1] :

dont la solution est naturellement et le profit maximal est .

Puisque , la solution de cette formulation déterministe érode le profit espéré maximal : elle est sous-optimale.

Exemple numérique

Afin de quantifier la perte de profit espéré causée par la formulation déterministe, admettons les hypothÚses suivantes :

  • la demande suit une loi log-normale (choisie pour assurer des valeurs positives) d’espĂ©rance 100 et d’écart type considĂ©rĂ© comme un paramĂštre libre pour l’étude,
  • le prix d’achat : 1.0,
  • le prix de vente : 1.1.
Dégradation du profit de la solution obtenue en formulation déterministe

Sous ces conditions, pour toute valeur de , il est possible de déterminer :

  • la solution ,
  • le profit espĂ©rĂ© associĂ© ,
  • le profit espĂ©rĂ© qui prĂ©vaudrait avec la solution de la formulation dĂ©terministe.

La figure ci-contre visualise ces résultats associés aux deux formulations en fonction de :

  • Lorsque la variabilitĂ© (sigma) de la demande augmente, la quantitĂ© optimale dĂ©croĂźt (courbe noire, Ă©chelle de gauche) afin d’éviter l’achat de journaux qui seront perdus en cas de faible demande.
  • Le profit espĂ©rĂ© de la solution de la formulation stochastique dĂ©croĂźt Ă©galement (courbe bleue, Ă©chelle de droite).
  • Le profit espĂ©rĂ© de la solution de la formulation dĂ©terministe dĂ©croĂźt plus rapidement (courbe rouge, Ă©chelle de droite). Il prend mĂȘme des valeurs nĂ©gatives Ă  partir d’un sigma relatif excĂ©dant 25 %.
  • MĂȘme pour un faible sigma relatif de 10 % (valeur 10 sur les abscisses), la formulation dĂ©terministe conduit Ă  une Ă©rosion significative du profit espĂ©rĂ©, soit une perte de l’ordre de 25 %.

Ce simple exemple atteste des dangers encourus par l’application d’une formulation dĂ©terministe Ă  un problĂšme qui ne l’est pas. En pratique, il est gĂ©nĂ©ralement prĂ©fĂ©rable d’utiliser une distribution mal connue au lieu de l’ignorer.

IntĂ©rĂȘt Ă©conomique des prĂ©visions

Un outil de prĂ©vision s’appuyant sur des donnĂ©es statistiques des Ă©vĂ©nements enregistrĂ©s par le passĂ© apporte deux contributions essentielles aux donnĂ©es du problĂšme :

  • une modification des espĂ©rances des donnĂ©es alĂ©atoires au lieu de qui dĂ©coule du potentiel « explicatif » des variables externes ou exogĂšnes (espĂ©rance conditionnelle),
  • une rĂ©duction du sigma de ces donnĂ©es dĂ» au caractĂšre projectif de la prĂ©vision.

Dans le contexte de l’exemple, le profit espĂ©rĂ© du vendeur augmentera s’il peut saisir les relations (rĂ©gression linĂ©aire par exemple) entre la demande et certaines variables exogĂšnes comme la mĂ©tĂ©o (peu d'acheteurs potentiels s’il pleut), l’intĂ©rĂȘt des nouvelles du journal, le type de jour, etc. Un vendeur expĂ©rimentĂ© sait interprĂ©ter les conditions qui influencent le volume de ses ventes et quantifier intuitivement leurs effets.

MĂȘme si, dans un cas particulier oĂč les variables exogĂšnes ne modifient pas l’espĂ©rance , un coefficient de corrĂ©lation est suffisant pour rĂ©duire d’un facteur 2. En reprenant les rĂ©sultats de l’exemple prĂ©cĂ©dent, si 20 peut ĂȘtre rĂ©duit Ă  10 grĂące Ă  une prĂ©vision, le profit espĂ©rĂ© augmentera de 20 %.

Voir aussi

Notes

  1. On obtient ce mĂȘme rĂ©sultat en partant de la formulation gĂ©nĂ©rale dans laquelle est remplacĂ© par une distribution de Dirac translatĂ©e de , ce qui implique une rĂ©partition cumulative du type fonction de Heaviside
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