Principe variationnel d'Ekeland

Le principe variationnel d'Ekeland est un théorème d'analyse mathématique, découvert par Ivar Ekeland[1] - [2] - [3], qui garantit l'existence de solutions presque optimales à certains problèmes d'optimisation.

Il peut être utilisé lorsque l'espace métrique des variables du problème d'optimisation n'est pas compact — ce qui empêche d'appliquer le théorème de Bolzano-Weierstrass — mais seulement complet.

Sa forme faible permet de démontrer rapidement le théorème du point fixe de Caristi[4]. De plus, cette propriété des espaces complets les caractérise (parmi les espaces métriques).

Énoncé

Soient :

$(X, d)$ un espace métrique complet,
$f : X \to [0, +\infty]$ une application semi-continue inférieurement et non constamment égale à $+\infty$ ,
$ε$ un réel strictement positif et
$x$ un point de $X$ tel que $f (x) \leq ε + inf (f (X))$ .

Alors, pour tout $δ > 0$ , il existe un point $y$ de $X$ tel que :

$f(y)\leq f(x),$
$d(x,y)\leq \delta {\text{ et}}$
$\forall z\in X\setminus \{y\}\quad f(z)>f(y)-{\varepsilon \over \delta }d(y,z).$

Variantes

L'énoncé usuel ci-dessus équivaut à son cas particulier $ε = δ = 1$ (en remplaçant $f$ par $f / ε$ et $d$ par $d / δ$ ), ainsi qu'aux quatre variantes suivantes. Il est commode, pour formuler et démontrer tous ces théorèmes, d'associer à $f$ le préordre[5] ≼ défini par : $u ≼ v \Leftrightarrow f (u) + d (u, v) \leq f (v)$ .

Soient $(X, d)$ un espace métrique complet et $f : X \to [0, +\infty]$ une application semi-continue inférieurement et non constamment égale à $+\infty$ .

Tout point de $X$ possède un ≼-minorant ≼-minimal[6] - [7] - [8].

Tout point de $X$ dont l'image par $f$ est inférieure ou égale à $1 + inf(f (X))$ possède un ≼-minorant ≼-minimal[9].

« Forme faible[10] » — Il existe dans $X$ un élément ≼-minimal dont l'image par $f$ est inférieure ou égale à $1 + inf(f (X))$ .

Il existe dans $X$ un élément ≼-minimal.

Démonstrations

Dans les variantes ci-dessus, on a évidemment 1 ⇒ 2, 3 ⇒ 4 et, en notant 2½ la version $ε = δ = 1$ de l'énoncé usuel, 2 ⇒ 2½ et 2½ ⇒ 3.

Preuve de 1[6] : à partir de $y 0 = x$ , on définit par récurrence une suite $(y n)$ , en notant $F n$ l'ensemble des ≼-minorants de $y n$ et en choisissant dans $F n$ un point $y n +1$ tel que $f (y n +1) \leq 1/(n + 1) + inf(f (F n))$ . L'unique point $y$ commun aux fermés $F n$ est alors solution.
4 ⇒ 1, en changeant d'espace : le sous-espace des ≼-minorants d'un point arbitraire de $X$ est fermé donc complet.
Si $X$ vérifie 3 (ou même seulement 4) pour toute application $f$ comme dans l'énoncé, alors il est complet[11] - [6] : soit $(y n)$ une suite de Cauchy dans $X$ . L'application $f$ définie sur $X$ par $f (x) = 2 lim n \to\infty d (y n, x)$ est uniformément continue. Soit $y$ minimal pour l'ordre ≼ associé à $f$ . Pour tout entier naturel $m$ , $f (y m) + d (y m, y) \geq f (y)$ donc par passage à la limite, $0 + f (y)/2 \geq f (y)$ , par conséquent $f (y) = 0$ , autrement dit $(y n)$ converge vers $y$ .

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Ekeland's variational principle » (voir la liste des auteurs).

(en) Ivar Ekeland, « On the variational principle », J. Math. Anal. Appl., vol. 47, n^o 2,‎ 1974, p. 324-353 (lire en ligne).
(en) Ivar Ekeland, « Nonconvex minimization problems », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 1, n^o 3,‎ 1979, p. 443-474 (lire en ligne).
(en) Ivar Ekeland et Roger Temam, Convex Analysis and Variational Problems, SIAM, 1999 (1^re éd. 1976), 402 p. (ISBN 0-89871-450-8, MR 1727362, lire en ligne), p. 357-373.
(en) Efe A. Ok, Real Analysis with Economics Applications, PUP, 2007, 802 p. (ISBN 978-0-691-11768-3, lire en ligne), « Addenda: The Ekeland Variational Principle », p. 664.
Sur l'ensemble des points où $f$ est à valeurs finies, c'est un ordre.
(en) Osman Güler, Foundations of Optimization, New York, Springer, coll. « GTM » (n^o 258), 2010 (ISBN 978-0-387-68407-9, lire en ligne), chap. 3, § 1 (« Ekeland's ϵ-Variational Principle »), p. 61-64.
(en) Georgiana Goga, « Some equivalent geometrical results with Ekeland's variational principle », An. Şt. Univ. Ovidius Constanța, vol. 13, n^o 1,‎ 2005, p. 79-88 (lire en ligne), Theorem 2.2.
(en) Jonathan M. Borwein et Qiji J. Zhu, Techniques of Variational Analysis, New York, Springer, 2006 (ISBN 978-0-387-28271-8, lire en ligne), chap. 2, § 1 (« Ekeland Variational Principles »), p. 6-7, Theorem 2.1.1.
Borwein et Zhu 2006, Theorem 2.1.1.
(en) George Isac, Vladimir A. Bulavsky et Vyacheslav V. Kalashnikov, Complementarity, Equilibrium, Efficiency and Economics, Springer, 2002, 445 p. (ISBN 978-1-4020-0688-3, lire en ligne), « 13, § 5 », p. 407.
(en) J. D. Weston, « A characterization of metric completeness », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 64, n^o 1,‎ 1977, p. 186-188 (lire en ligne).

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