Principe fondamental d'Ehrenpreis

Considérons tout d'abord une équation différentielle (ordinaire) linéaire à coefficients constants

${\displaystyle R(D)u=0}$

où ${\displaystyle D=-i\partial }$, ${\displaystyle \partial ={\frac {d}{dx}}}$ et où ${\displaystyle R(D)\in {\mathfrak {D}}}$ avec ${\displaystyle {\mathfrak {D}}=\mathbb {C} \left[D\right]}$. Soit la décomposition en facteur premiers de ${\displaystyle R(\zeta )}$ sur ${\displaystyle \mathbb {C} \left[\zeta \right]}$ :

${\displaystyle R\left(\zeta \right)=\prod \limits _{\sigma =1}^{\mu }P_{\sigma }\left(\zeta \right)}$

où ${\displaystyle P_{\sigma }=p_{\sigma }^{\rho _{\sigma }}}$ avec ${\displaystyle p_{\sigma }(\zeta )=\zeta -\zeta _{\sigma }}$ (${\displaystyle \zeta _{\sigma }\in \mathbb {C} }$, ${\displaystyle \rho _{\sigma }\geq 1}$). La solution générale de ${\displaystyle R(D)u=0}$ est maintenant bien connue[10], mais en vue de la généralisation qui va suivre nous allons indiquer une méthode algébrique (ou, plus précisément, relevant de l'« analyse algébrique ») pour déterminer cette solution. Posons ${\displaystyle N=\mathbb {C} \left[\zeta \right]R\left(\zeta \right)}$ et ${\displaystyle Q_{\sigma }=\mathbb {C} \left[\zeta \right]P_{\sigma }\left(\zeta \right)}$. On a

${\displaystyle N=\bigcap \limits _{\rho =1}^{\mu }Q_{\sigma }}$

et cette expression est la décomposition primaire de l'idéal N de ${\displaystyle \mathbb {C} \left[\zeta \right]}$ (les idéaux primaires étant les ${\displaystyle Q_{\sigma }}$). On a d'après le théorème des restes chinois, puisque les ${\displaystyle Q_{\sigma }}$ sont premiers entre eux pris deux à deux,

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} \left[\zeta \right]}{N}}=\bigoplus \limits _{\sigma =1}^{\mu }{\frac {\mathbb {C} \left[\zeta \right]}{Q_{\sigma }}}}$.

D'autre part, l'espace des solutions dans un espace fonctionnel ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ (qu'on suppose être un ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$-module) de l'équation ${\displaystyle R(D)u=0}$ s'identifie à[6]

${\displaystyle {\rm {Hom}}_{\mathfrak {D}}\left({\frac {\mathfrak {D}}{{\mathfrak {D}}R\left(D\right)}},{\mathcal {W}}\right)={\rm {Hom}}_{\mathfrak {D}}\left({\rm {coker}}_{\mathfrak {D}}\left(\bullet R\right),{\mathcal {W}}\right)}$

(voir l'article Module injectif). Or, on a d'après ce qui précède

${\displaystyle {\rm {Hom}}_{\mathfrak {D}}\left({\frac {\mathfrak {D}}{{\mathfrak {D}}R}},{\mathcal {W}}\right)\cong \bigoplus \limits _{\sigma =1}^{\mu }{\rm {Hom}}_{\mathfrak {D}}\left({\frac {\mathfrak {D}}{{\mathfrak {D}}P_{\sigma }}},{\mathcal {W}}\right)}$,

soit donc ${\displaystyle {\rm {ker}}_{\mathcal {W}}\left(R\bullet \right)\cong \bigoplus \limits _{\sigma =1}^{\mu }{\rm {ker}}_{\mathcal {W}}\left(P_{\sigma }\bullet \right)}$.

Prenons ${\displaystyle {\mathcal {W}}={\mathcal {E}}\left(\mathbb {R} \right)}$ (où ${\displaystyle {\mathcal {E}}\left(\mathbb {R} \right)=C^{\infty }\left(\mathbb {R} \right)}$). Comme il est bien connu, tout élément de ${\displaystyle {\rm {ker}}_{\mathcal {W}}\left(P_{\sigma }\bullet \right)}$ est de la forme

${\displaystyle u_{\sigma }\left(x\right)=\sum \limits _{l=1}^{\rho _{\sigma }}\lambda _{\sigma ,l}{\mathcal {B}}_{\sigma ,l}\left(\zeta _{\sigma },x\right)e^{ix\zeta _{\sigma }}}$

où ${\displaystyle \lambda _{\sigma ,l}\in \mathbb {C} }$ et ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\sigma ,l}\left(\zeta _{\sigma },x\right)=x^{l-1}}$. On obtient donc le résultat classique

${\displaystyle u\left(x\right)=\sum \limits _{\sigma =1}^{\mu }\sum \limits _{l=1}^{\rho _{\sigma }}\lambda _{\sigma ,l}{\mathcal {B}}_{\sigma ,l}\left(\zeta _{\sigma },x\right)e^{ix\zeta _{\sigma }}}$.

Il en irait de même si l'on avait choisi pour ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ l'espace des distributions ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\mathbb {R} \right)}$ ou l'espace des combinaisons linéaires d'exponentielles-polynômes

${\displaystyle {\mathcal {PE}}\left(\mathbb {R} \right)=\bigoplus \limits _{\zeta \in \mathbb {C} }\mathbb {C} \left[x\right]e^{ix\zeta }}$

Soit ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{\sigma }={\sqrt {Q_{\sigma }}}}$ l'idéal premier appartenant à ${\displaystyle Q_{\sigma }}$ (i.e. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{\sigma }=\mathbb {C} \left[\zeta \right]\left(\zeta -\zeta _{\sigma }\right)}$) et ${\displaystyle V_{\sigma }={\mathcal {Z}}\left({\mathfrak {p}}_{\sigma }\right)}$ la variété algébrique associée à ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{\sigma }}$ (voir l'article Décomposition primaire). On a évidemment ici ${\displaystyle V_{\sigma }=\left\{\zeta _{\sigma }\right\}}$ et on peut écrire

${\displaystyle u\left(x\right)=\sum \limits _{\sigma =1}^{\mu }\sum \limits _{l=1}^{\rho _{\sigma }}\int _{V_{\sigma }}{\mathcal {B}}_{\sigma ,l}\left(\zeta ,x\right)e^{ix\zeta }d\mu _{\sigma ,l}\left(\zeta \right)}$

où ${\displaystyle \mu _{\sigma ,l}}$ est la mesure sur ${\displaystyle V_{\sigma }}$ donnée par ${\displaystyle \mu _{\sigma ,l}\left\{V_{\sigma }\right\}=\lambda _{\sigma ,l}}$. C'est sous cette forme que la solution est généralisée dans ce qui suit[11].

On appelle variété caractéristique du ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$-module ${\displaystyle {\rm {coker}}_{\mathfrak {D}}\left(\bullet R\right)}$ l'ensemble algébrique ${\displaystyle V={\mathcal {Z}}\left(\mathbb {C} \left[\zeta \right]/N\right)}$. On a

${\displaystyle V=\bigcup \nolimits _{1\leq \sigma \leq \mu }V_{\sigma }}$

où les ${\displaystyle V_{\sigma }={\mathcal {Z}}\left({\mathfrak {p}}_{\sigma }\right)}$ sont les composantes irréductibles de V (voir l'article Décomposition primaire).

Notons encore que les polynômes ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\sigma ,l}\left(\zeta ,x\right)}$ ont la propriété suivante : un polynôme ${\displaystyle f\left(\zeta \right)\in \mathbb {C} \left[\zeta \right]}$ appartient à ${\displaystyle Q_{\sigma }}$ si, et seulement si

${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\sigma ,l}\left(\zeta ,{\frac {\partial }{\partial \zeta }}\right)f\left(\zeta \right)\in {\mathfrak {p}}_{\sigma }}$ (${\displaystyle l=1,...,\rho _{\sigma }}$).

Les ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\sigma ,l}\left(\zeta ,{\frac {\partial }{\partial \zeta }}\right)}$ (${\displaystyle l=1,...,\rho _{\sigma }}$) sont appelés des opérateurs noethériens attachés à l'idéal primaire ${\displaystyle Q_{\sigma }}$ (terminologie de Palamodov[4]).

La représentation intégrale détaillée des solutions, telle que présentée ci-dessous, a tout d'abord été obtenue par Palamodov[4], dont la terminologie est réutilisée dans cet article.

Considérons à présent le système multidimentionnel d'équation

${\displaystyle R(D)u=0}$

où ${\displaystyle D=(D_{1},...,D_{n})}$, ${\displaystyle D_{j}=-i\partial _{j}=-i{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}$, ${\displaystyle D^{\alpha }=\left(-i\right)^{\left\vert \alpha \right\vert }\partial ^{\alpha }}$, ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},...,\alpha _{n})}$, ${\displaystyle {\mathfrak {D}}=\mathbb {C} \left[D\right]}$ et ${\displaystyle R(D)\in {\mathfrak {D}}^{q\times k}}$ (voir l'article Opérateur différentiel). Soit alors ${\displaystyle M={\rm {coker}}_{\mathfrak {D}}(\bullet R(D))}$. Ce ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$-module M de présentation finie est une représentation intrinsèque du système considéré (voir l'article Système linéaire). L'anneau ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$ est noethérien d'après le théorème de la base de Hilbert.

Soit ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ un espace fonctionnel qui est un ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$-module. Le ${\displaystyle \mathbb {C} }$-espace vectoriel des solutions du système défini par M dans ${\displaystyle {\mathcal {W}}^{k}}$ s'identifie à

${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{\mathcal {W}}={\rm {Hom}}_{\mathfrak {D}}(M,{\mathcal {W}})}$.

(voir l'article Module injectif).

La variété caractéristique associée au ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$-module M est par définition l'ensemble algébrique V associé au module ${\displaystyle {\rm {coker}}_{\mathbb {C} \left[\zeta \right]}\left(\bullet R(\zeta )\right)}$ où ${\displaystyle \zeta =(\zeta _{1},...,\zeta _{n})}$. Cet ensemble coïncide avec l'ensemble des ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}$ pour lesquels ${\displaystyle {\rm {rang}}_{\mathbb {C} }R(z)<k}$. La notion de variété caractéristique rend notamment possible la classification suivante des systèmes différentiels : le système est dit

• déterminé si ${\displaystyle {\rm {dim}}V<n}$ (où ${\displaystyle {\rm {dim}}V}$ est la dimension de V: voir l'article Décomposition primaire) ;
• surdéterminé si ${\displaystyle {\rm {dim}}V<n-1}$ ;
• sous-déterminé si ${\displaystyle {\rm {dim}}V=n}$, i.e. ${\displaystyle V=\mathbb {C} ^{n}}$.

Le cas d'un système sous-déterminé est écarté dans le reste de ce paragraphe. Généralisons les notations de l'introduction ci-dessus, en posant ${\displaystyle N=\mathbb {C} \left[\zeta \right]^{1\times q}R\left(\zeta \right)\subset \mathbb {C} \left[\zeta \right]^{1\times k}}$. Soit

${\displaystyle N=\bigcap \limits _{\rho =1}^{\mu }Q_{\sigma }}$

la décomposition primaire de N, ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{\sigma }={\sqrt {Q_{\sigma }}}}$ l'idéal premier appartenant à ${\displaystyle Q_{\sigma }}$ et ${\displaystyle V_{\sigma }={\mathcal {Z}}\left({\mathfrak {p}}_{\sigma }\right)}$ la variété algébrique associée à ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{\sigma }}$. On a de nouveau

${\displaystyle V=\bigcup \nolimits _{1\leq \sigma \leq \mu }V_{\sigma }}$.

Le lemme de normalisation de Noether entraîne qu'il existe un entier ${\displaystyle n_{\sigma }^{\prime },0\leq n_{\sigma }^{\prime }\leq n-1}$, tel que (i) ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{\sigma }\cap \mathbb {C} \left[\zeta _{\sigma }^{\prime }\right]=0}$, où ${\displaystyle \zeta _{\sigma }^{\prime }=(\zeta _{1},...,\zeta _{n_{\sigma }^{\prime }})}$, et (ii) ${\displaystyle \mathbb {C} \left[\zeta \right]/{\mathfrak {p}}_{\sigma }}$ est un ${\displaystyle \mathbb {C} \left[\zeta _{\sigma }^{\prime }\right]}$-module de type fini. Soit ${\displaystyle K_{\sigma }}$ le corps des fractions de l'anneau intègre ${\displaystyle \mathbb {C} \left[\zeta \right]/{\mathfrak {p}}_{\sigma }}$ et ${\displaystyle e_{\sigma }={\rm {dim}}_{\mathbb {C} \left(\zeta _{\sigma }^{\prime }\right)}K_{\sigma }}$.

Ce nombre ${\displaystyle e_{\sigma }}$ est la multiplicité de la variété algébrique ${\displaystyle V_{\sigma }}$, c'est-à-dire le nombre de points de ${\displaystyle V_{\sigma }\cap A_{\sigma }}$ où ${\displaystyle A_{\sigma }}$ est une variété affine de ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ de dimension ${\displaystyle n-n_{\sigma }^{\prime }}$, en position générale[12].

Le ${\displaystyle \mathbb {C} \left[\zeta _{\sigma }^{\prime }\right]}$-module ${\displaystyle \mathbb {C} \left[\zeta \right]^{1\times k}/Q_{\sigma }}$ est de type fini. Soit ${\displaystyle r_{\sigma }}$ son rang, i.e.

${\displaystyle r_{\sigma }={\rm {dim_{\mathbb {C} \left(\zeta _{\sigma }^{\prime }\right)}\left(\mathbb {C} \left(\zeta _{\sigma }^{\prime }\right)\otimes _{\mathbb {C} \left[\zeta _{\sigma }^{\prime }\right]}(\mathbb {C} \left[\zeta \right]^{1\times k}/Q_{\sigma })\right)}}}$.

On montre que ${\displaystyle \rho _{\sigma }=r_{\sigma }/e_{\sigma }}$ est un entier[12]. Pour tout ${\displaystyle \sigma \in \left\{1,...,\mu \right\}}$, il existe des opérateurs noethériens, dits attachés au ${\displaystyle \mathbb {C} \left[\zeta \right]}$-module ${\displaystyle Q_{\sigma }}$, et notés

${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\sigma ,l}\left(\zeta ,{\frac {\partial }{\partial \zeta _{\sigma }^{\prime \prime }}}\right)\in \mathbb {C} \left[\zeta ,{\frac {\partial }{\partial \zeta ^{\prime \prime }}}\right]^{1\times k}}$ (${\displaystyle l=1,...,\rho _{\sigma }}$)

où ${\displaystyle \zeta _{\sigma }^{\prime \prime }=(\zeta _{n_{\sigma }^{\prime }+1},...,\zeta _{n})}$, ayant la propriété caractéristique suivante :

${\displaystyle f\left(\zeta \right)\in \mathbb {C} \left[\zeta \right]^{1\times k}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\sigma ,l}\left(\zeta ,{\frac {\partial }{\partial \zeta ^{\prime \prime }}}\right)f\left(\zeta \right)\in {\mathfrak {p}}_{\sigma }(l=1,...,\rho _{\sigma })\Longleftrightarrow f\left(\zeta \right)\in Q_{\sigma }}$

où ${\displaystyle \mathbf {ab} =\sum \nolimits _{1\leq i\leq k}a_{i}b_{i}}$ lorsque ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b\in \mathbb {C} } ^{1\times k}}$.

Dans la suite, ${\displaystyle \mathbb {C} \left[\zeta ,\zeta ^{\prime \prime }\right]}$ est plongé dans ${\displaystyle \mathbb {C} \left[\zeta ,x\right]}$ où ${\displaystyle x=(x_{1},...,x_{n})}$ et on peut donc écrire ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\sigma ,l}={\mathcal {B}}_{\sigma ,l}\left(\zeta ,x\right)}$. Soit

${\displaystyle {\mathcal {W}}_{0}=\bigoplus \limits _{\zeta \in \mathbb {C} ^{n}}\mathbb {C} \left[x\right]e^{i\left\langle x,\zeta \right\rangle }}$

l'espace des combinaisons linéaires d'exponentielles-polynômes sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. On a le résultat suivant[13] :

Considérons l'exemple suivant, dû à Palamodov[4], et détaillé par Hörmander[13] et Björk[12] :

${\displaystyle R\left(D\right)=\left[{\begin{array}{ccc}D_{2}^{2}&D_{3}^{2}&D_{2}-D_{1}D_{3}\end{array}}\right]}$

d'où ${\displaystyle R\left(\zeta \right)=\left[{\begin{array}{ccc}\zeta _{2}^{2}&\zeta _{3}^{2}&\zeta _{2}-\zeta _{1}\zeta _{3}\end{array}}\right]}$.

On vérifie que ${\displaystyle N=\mathbb {C} \left[\zeta \right]R\left(\zeta \right)}$ est un idéal primaire Q ; on peut donc dans ce qui suit omettre l'indice ${\displaystyle \sigma }$ puisqu'il ne prend que la valeur 1. La variété caractéristique V s'obtient en écrivant ${\displaystyle {\rm {rang}}_{\mathbb {C} }R(z)<k}$, soit encore ${\displaystyle R(z)=0}$, d'où ${\displaystyle z_{2}=z_{3}=0}$ ; il s'agit donc de l'axe ${\displaystyle z_{1}}$, et sa multiplicité est ${\displaystyle e=1}$. On vérifie aussi que ${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\sqrt {Q}}}$ est l'idéal ${\displaystyle \zeta _{2}\mathbb {C} \left[\zeta \right]+\zeta _{3}\mathbb {C} \left[\zeta \right]}$ ; cet idéal est écrit pour plus de simplicité ${\displaystyle \left[\zeta _{2},\zeta _{3}\right]}$. Le quotient ${\displaystyle \mathbb {C} \left[\zeta \right]/Q}$ est engendré par les images canoniques ${\displaystyle {\bar {\zeta }}_{2}}$ et ${\displaystyle {\bar {\zeta }}_{3}}$ (ce qu'on écrira ${\displaystyle \mathbb {C} \left[\zeta \right]/Q=\left[{\bar {\zeta }}_{2},{\bar {\zeta }}_{3}\right]}$), on a ${\displaystyle \zeta ^{\prime }=\zeta _{1}}$, et le rang r de ${\displaystyle \mathbb {C} \left[\zeta \right]/Q}$ sur ${\displaystyle \mathbb {C} \left[\zeta _{1}\right]/Q}$ est égal à 2. Par conséquent, ${\displaystyle \rho =r/e=2}$. On peut choisir comme opérateurs noethériens[14] ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{1}\left(\zeta ,{\frac {\partial }{\partial \zeta ^{\prime \prime }}}\right)=1}$ et ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{2}\left(\zeta ,{\frac {\partial }{\partial \zeta ^{\prime \prime }}}\right)=\zeta _{1}{\frac {\partial }{\partial \zeta _{2}}}+{\frac {\partial }{\partial \zeta _{3}}}}$ avec ${\displaystyle \zeta ^{\prime \prime }=(\zeta _{2},\zeta _{3})}$. En effet, on vérifie que

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{c}1.f\left(\zeta \right)\in \left[\varsigma _{2},\varsigma _{3}\right]\\\zeta _{1}{\frac {\partial f}{\partial \zeta _{2}}}+{\frac {\partial f}{\partial \zeta _{3}}}\in \left[\zeta _{2},\zeta _{3}\right]\end{array}}\right.\Longleftrightarrow f\left(\zeta \right)\in \left[\zeta _{2}^{2},\zeta _{3}^{2},\zeta _{2}-\zeta _{1}\zeta _{3}\right]}$.

Les solutions exponentielles-polynômes du système différentiel forment donc le ${\displaystyle \mathbb {C} }$-espace vectoriel engendré par ${\displaystyle u:x\mapsto u(x)}$ où

${\displaystyle u\left(x\right)=e^{ix_{1}\zeta _{1}}+\left(\zeta _{2}x_{2}+x_{3}\right)e^{ix_{1}\zeta _{1}}}$

comme on le vérifie facilement a posteriori. On notera que ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{2}\left(\zeta ,{\frac {\partial }{\partial \zeta ^{\prime \prime }}}\right)}$ dépend de ${\displaystyle \zeta }$ et cette dépendance est inévitable dans cet exemple. Une méthode systématique pour déterminer des opérateurs noethériens associés à un module primaire a été obtenue par Oberst[15].

Soit ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{n}}$ un compact convexe. Nous caractérisons ici les solutions dans ${\displaystyle C^{\nu }(K)}$, l'espace des (germes de) fonctions ${\displaystyle \nu }$ fois continûment différentiables dans un voisinage ouvert de K[13]. La fonction support de K est

${\displaystyle H_{K}\left(\xi \right)=\sup \limits _{x\in K}\left\langle x,\xi \right\rangle }$.

Soit

${\displaystyle \nu =\sup _{1\leq \sigma \leq \mu }\left\{n-n_{\sigma }^{\prime }\right\}}$.

D'autres conditions fournissent les solutions dans des espaces de distributions[4] ou d'hyperfonctions[16].

On suppose dans tout ce qui suit que l'anneau ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$ est muni de la topologie discrète, ce qui en fait un anneau topologique.

Le résultat suivant est clair :

On a d'autre part le résultat suivant[5] - [4] - [7] :

L'espace ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\Omega )}$ des hyperfonctions sur un ouvert convexe ${\displaystyle \Omega }$ de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ n'est pas un espace vectoriel topologique, néanmoins une représentation intégrale telle que ci-dessus existe pour une hyperfonction ${\displaystyle u(x)}$, les intégrales devant être prises au sens des hyperfonctions[16] (ce résultat est dû à Kaneto).

Considérons maintenant le système multidimentionnel d'équation

${\displaystyle R_{1}(D)u=f}$

où l'opérateur D est défini comme plus haut ; ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$ désigne de nouveau l'anneau des opérateurs différentiels et ${\displaystyle R_{1}(D)\in {\mathfrak {D}}^{q_{1}\times k_{1}}}$. Le second membre v appartient à ${\displaystyle {\mathcal {W}}^{q_{1}}}$ où ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ un espace fonctionnel qui est un ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$-module. La question qui se pose est de savoir si ce système admet des solutions ${\displaystyle u\in {\mathcal {W}}^{k_{1}}}$.

Puisque l'anneau ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$ est noethérien, il existe une matrice ${\displaystyle R_{2}(D)\in {\mathfrak {D}}^{q_{2}\times k_{2}}}$, avec ${\displaystyle k_{2}=q_{1}}$, pour laquelle la suite

${\displaystyle {\mathfrak {D}}^{1\times q_{2}}{\overset {\bullet R_{2}(D)}{\longrightarrow }}{\mathfrak {D}}^{1\times q_{1}}{\overset {\bullet R_{1}(D)}{\longrightarrow }}{\mathfrak {D}}^{1\times k_{1}}}$

est exacte, c'est-à-dire ${\displaystyle {\rm {ker}}_{\mathfrak {D}}(\bullet R_{1}(D))={\rm {im}}_{\mathfrak {D}}(\bullet R_{2}(D))}$.

En effet, ${\displaystyle {\rm {ker}}_{\mathfrak {D}}(\bullet R_{1}(D))\subset {\mathfrak {D}}^{1\times q_{1}}}$ est de type fini, et il suffit donc de choisir une matrice ${\displaystyle R_{2}(D)}$ dont les lignes forment un ensemble générateur de ${\displaystyle {\rm {ker}}_{\mathfrak {D}}(\bullet R_{1}(D))}$ (ce raisonnement resterait valable si ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$ était seulement un anneau cohérent).

Puisque ${\displaystyle R_{2}(D)R_{1}(D)=0}$, pour que le système ci-dessus ait une solution, il faut évidemment que la condition de compatibilité

${\displaystyle R_{2}(D)f=0}$

soit satisfaite. La question qui se pose est de savoir si cette condition de compatibilité, qui est nécessaire, est suffisante pour que le système différentiel admette une solution, c'est-à-dire si l'on a

${\displaystyle {\rm {im}}_{\mathcal {W}}(R_{1}(D)\bullet )={\rm {ker}}_{\mathcal {W}}(R_{2}(D)\bullet )}$.

Oberst[24] - [25] a montré que l'espace ${\displaystyle {\mathcal {W}}_{0}}$ des combinaisons linéaires d'exponentielles-polynômes est le ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$-module cogénérateur canonique.

En outre, le module des hyperfonctions sur un ouvert convexe de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ est un cogénérateur injectif (d'après un résultat dû à Komatsu[27]). Pour que ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\Omega )}$ soit un ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$-module divisible, l'ouvert ${\displaystyle \Omega }$ étant connexe, il est nécessaire (et suffisant) que ${\displaystyle \Omega }$ soit convexe (résultat dû à Malgrange[6]).

En liaison avec le corollaire ci-dessus, on obtient par dualité le résultat suivant[4] :

On notera qu'un ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$-module injectif ne vérifie pas nécessairement le principe fondamental au sens précisé ci-dessus. Par exemple, l'espace ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})}$ des distributions tempérées sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ est un ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$-module injectif[29], mais ne contient pas les exponentielles-polynômes, et n'est donc pas cogénérateur. (Néanmoins, son dual ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$, à savoir l'espace de Schwartz des fonctions déclinantes, est un ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$-module plat[6], ce qu'on peut conclure aussi d'un résultat général sur la dualité entre injectivité et platitude[26].)