Anneau cohérent

• Soit ${\displaystyle R}$ un anneau et ${\displaystyle M}$ un ${\displaystyle R}$-module. Il existe des modules libres ${\displaystyle L_{1}}$ et ${\displaystyle L_{0}}$ pour lesquels on a une suite exacte

${\displaystyle L_{1}\longrightarrow L_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0}$

qui est appelée une présentation de ${\displaystyle M}$. Le module ${\displaystyle M}$ est de type fini si ${\displaystyle L_{0}}$ est de type fini, et il est dit de présentation finie si ${\displaystyle L_{0}}$ et ${\displaystyle L_{1}}$ sont tous deux de type fini[1].

• Un ${\displaystyle R}$-module ${\displaystyle M}$ est dit cohérent s'il est de type fini et si tout sous-module de type fini de ${\displaystyle M}$ est de présentation finie.

• Un anneau ${\displaystyle R}$ est dit cohérent à gauche si tout idéal à gauche de ${\displaystyle R}$ de type fini est de présentation finie. On définit de même un anneau cohérent à droite, et un anneau cohérent est un anneau cohérent à gauche qui est cohérent à droite[2].

• Par exemple un anneau de polynômes à un nombre infini d'indéterminées à coefficients dans un anneau commutatif noethérien est cohérent, mais n'est pas noethérien[3].

Soit ${\displaystyle R}$ un anneau.

• Soit ${\displaystyle M}$ un ${\displaystyle R}$-module à gauche. Les conditions suivantes sont équivalentes[4]:

1. ${\displaystyle M}$ est cohérent à gauche.
2. ${\displaystyle M}$ est de type fini et pour tout entier ${\displaystyle n\geq 0}$, le noyau de tout homomorphisme de ${\displaystyle R}$-modules à gauche ${\displaystyle R^{n}\longrightarrow M}$ est de type fini.
3. ${\displaystyle M}$ est de type fini et pour tout ${\displaystyle R}$-module à gauche ${\displaystyle N}$ de type fini, pour tout homomorphisme ${\displaystyle f:N\rightarrow M}$, ${\displaystyle \ker(f)}$ est de type fini.

• En outre, les conditions suivantes sont équivalentes[2] - [5]:

1. ${\displaystyle R}$ est cohérent à gauche.
2. Tout sous-module de type fini d'un ${\displaystyle R}$-module libre à gauche de type fini est de présentation finie.
3. Tout ${\displaystyle R}$-module à gauche de présentation finie est cohérent.
4. Pour tout entier ${\displaystyle n}$, le noyau de tout homomorphisme de ${\displaystyle R}$-modules à gauche ${\displaystyle R^{n}\longrightarrow R}$ est de type fini.

• Un anneau noethérien à gauche est cohérent à gauche.

• Soit ${\displaystyle R}$ un anneau d'Ore. Cet anneau est un anneau de Sylvester cohérent à droite si, et seulement si l'annulateur à droite de toute matrice ligne (ou de toute matrice) finie à éléments dans ${\displaystyle R}$ est libre[6].

• Par exemple, un anneau de Bézout à droite est un anneau de Sylvester cohérent à droite.

• Un anneau de Sylvester commutatif ${\displaystyle R}$ est cohérent si, et seulement si ${\displaystyle R}$ est un anneau à pgcd[7].

• Soit ${\displaystyle D}$ un ouvert simplement connexe du plan complexe. L'anneau de Hardy ${\displaystyle H^{\infty }\left(D\right)}$ des fonctions analytiques bornées dans ${\displaystyle D}$ est un anneau de Sylvester cohérent qui n'est pas un anneau de Bézout[8].

On appelle catégorie de Grothendieck une catégorie abélienne ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ qui admet des coproduits arbitraires, a une famille de générateurs ${\displaystyle \left(G_{i}\right)_{i\in I}}$, et satisfait à la condition AB5)[9]: si ${\displaystyle A}$ est un objet de ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$, si ${\displaystyle A'}$ est un sous-objet de ${\displaystyle A}$, et si ${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}$ est une famille filtrante croissante de sous-objets de ${\displaystyle A}$, alors

${\displaystyle \bigcup \nolimits _{i\in I}\left(A^{\prime }\cap A_{i}\right)=A^{\prime }\cap \left(\bigcup \nolimits _{i\in I}A_{i}\right)}$.

• La catégorie ${\displaystyle _{R}Mod}$ des modules à gauche sur un anneau ${\displaystyle R}$ est une catégorie de Grothendieck ayant pour générateur le module ${\displaystyle _{R}R}$.

• Soit ${\displaystyle X}$ un espace topologique, ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ un faisceau d'anneaux sur ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle _{{\mathcal {O}}_{X}}\mathbf {Mod} }$ la catégorie des faisceaux de ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-modules à gauche sur ${\displaystyle X}$. Cette catégorie ${\displaystyle _{{\mathcal {O}}_{X}}\mathbf {Mod} }$ est une catégorie de Grothendieck[10]. Une famille de générateurs dans ${\displaystyle _{{\mathcal {O}}_{X}}\mathbf {Mod} }$ est constituée des faisceaux induits ${\displaystyle \left.{\mathcal {O}}_{X}\right\vert U}$ où ${\displaystyle U}$ décrit l'ensemble des ouverts de ${\displaystyle X}$[11].

• Soit ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ une catégorie de Grothendieck. Un objet ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ est dit de type fini si pour toute famille filtrante croissante ${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}$ de ${\displaystyle A}$ telle que ${\displaystyle \bigcup \nolimits _{i\in I}A_{i}=A}$, il existe un indice ${\displaystyle j}$ pour lequel ${\displaystyle A_{i}=A}$. Un objet ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ est dit cohérent s'il est de type fini et si pour tout morphisme ${\displaystyle f:B\rightarrow A}$ où ${\displaystyle B}$ est de type fini, ${\displaystyle \ker(f)}$ est de type fini[12].

• Soit ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ une catégorie de Grothendieck ayant pour générateur l'objet ${\displaystyle G}$ et

${\displaystyle 0\longrightarrow A^{\prime }\longrightarrow A\longrightarrow A^{\prime \prime }\longrightarrow 0}$

une suite exacte courte dans ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$. Si deux objets de cette suite sont cohérents, il en va de même du troisième. En outre, un objet ${\displaystyle A}$ est de type fini si, et seulement s'il existe une suite exacte

${\displaystyle \coprod \nolimits _{i\in J}G_{i}\longrightarrow A\longrightarrow 0}$

où ${\displaystyle J\subset I}$ est un ensemble fini d'indices, et ${\displaystyle A}$ est cohérent si, et seulement s'il est de type fini et pour tout morphisme ${\displaystyle \coprod \nolimits _{i\in J}G_{i}\longrightarrow A}$, où ${\displaystyle J\subset I}$ est fini, il existe une suite exacte

${\displaystyle \coprod \nolimits _{i\in K}G_{i}\longrightarrow \coprod \nolimits _{i\in J}G_{i}\longrightarrow A\longrightarrow 0}$

où ${\displaystyle K\subset I}$ est fini.

La sous-catégorie pleine de ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ formée de tous les objets cohérents, notée ${\displaystyle Coh{\mathfrak {C}}}$, est abélienne et l'injection ${\displaystyle Coh{\mathfrak {C}}\longrightarrow {\mathfrak {C}}}$ est exacte[13].

• Dans la catégorie ${\displaystyle _{R}Mod}$, les objets de type fini (resp. cohérents) sont les modules de type fini (resp. cohérents).

• Dans la catégorie ${\displaystyle _{{\mathcal {O}}_{X}}\mathbf {Mod} }$, les objets de type fini (resp. cohérents) sont les ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-modules de type fini (resp. cohérents).

• Un faisceau d'anneaux ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ est dit cohérent à gauche si pour tout ouvert ${\displaystyle U\subset X}$ et tout homomorphisme ${\displaystyle \left.{\mathcal {O}}_{X}^{n}\right\vert U\longrightarrow \left.{\mathcal {O}}_{X}\right\vert U}$ de ${\displaystyle \left.{\mathcal {O}}_{X}\right\vert U}$-modules à gauche, le noyau de cet homomorphisme est de type fini[14].

• On a alors le résultat suivant[15]: soit ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ un faisceau d'anneaux cohérents à gauche. Pour qu'un faisceau de ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-modules à gauche ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ soit cohérent, il faut et il suffit que, localement, il soit isomorphe au conoyau d'un homomorphisme de ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-modules à gauche ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{q}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}^{p}}$, i.e., pour tout ouvert non vide ${\displaystyle U}$ de ${\displaystyle X}$ il existe une suite exacte

${\displaystyle \left.{\mathcal {O}}_{X}^{q(U)}\right\vert U\longrightarrow \left.{\mathcal {O}}_{X}^{p(U)}\right\vert U\rightarrow \left.{\mathcal {F}}\right\vert U\longrightarrow 0}$.

• N. Bourbaki, Algèbre, Chapitre 10 : algèbre homologique, Springer, 2007, 216 p. (ISBN 978-3-540-34492-6)
• N. Bourbaki, Algèbre commutative, chapitres 1 à 4, Springer, 2006, 364 p. (ISBN 354033937X)
• (en) Henri Bourlès et Bogdan Marinescu, Linear Time-Varying Systems : Algebraic-Analytic Approach, Springer, 2011, 638 p. (ISBN 978-3-642-19726-0, présentation en ligne)
• (en) Paul Moritz Cohn, Free Rings and their Relations, Academic Press, 1985, 2^e éd., 595 p. (ISBN 0121791521)
• (en) Warren Dicks, « Free algebras over Bézout domains are Sylvester domains », Journal of Pure and Applied Algebra, vol. 27,‎ 1983, p. 15-28
• (en) Warren Dicks et Eduardo D. Sontag, « Sylvester Domains », Journal of Pure and Applied Algebra, vol. 13,‎ 1978, p. 243-275 (lire en ligne)
• Alexandre Grothendieck, « Sur quelques points d'algèbre homologique I », Tohoku Mathematical Journal, vol. 9,‎ 1957, p. 119-184 (lire en ligne)
• Alexandre Grothendieck, « Sur quelques points d'algèbre homologique II », Tohoku Mathematical Journal, vol. 9,‎ 1957, p. 185-221 (lire en ligne)
• Alexander Grothendieck et Jean Dieudonné, « Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas », Publications Mathématiques de l'IHÉS,‎ 1960, p. 5-228 (lire en ligne)
• (en) John C. McConnell et James C. Robson, Noncommutative Noetherian Rings, American Mathematical Society, 2001, 636 p. (ISBN 0821821695, lire en ligne)
• (en) Ulrich Oberst, « Duality Theory for Grothendieck Categories and Linearly Compact Rings », Journal of Algebra, vol. 15, n^o 4,‎ 1970, p. 473-542 (lire en ligne)
• (en) Alban Quadrat, « The fractional representation approach to synthesis problems: an algebraic analysis viewpoint. Part I: (weakly) doubly coprime factorizations », SIAM J. Control Optim., vol. 42, n^o 1,‎ 2003, p. 266-299
• (en) Jan-Erik Roos, « Locally noetherian categories and generalized strictly linear compact rings. Applications », Category Theory, Homology Theory and their applications II, Springer Verlag, Lecture Notes in Mathematics Vol. 92,‎ 1969, p. 197-277 (lire en ligne)
• Jean-Pierre Serre, « Faisceaux algébriques cohérents », Annals of Mathematics, vol. 61, n^o 2,‎ 1955, p. 197-278 (lire en ligne)