Anneau de Sylvester

Pour une matrice à coefficients dans un corps, la notion de rang ne présente pas d'ambiguïté. Il en va différemment pour une matrice à éléments dans un anneau.

• Si l'anneau R est un anneau d'Ore, on peut plonger R dans son corps des fractions K.
  On appelle rang extérieur d'un matrice A à éléments dans R le rang de cette matrice considérée comme étant à éléments dans K. Ce rang est noté ${\displaystyle rg\left(A\right)}$ et il vérifie toujours l'inégalité de Sylvester.
• On définit également le rang intérieur d'une matrice à éléments dans un anneau R qui n'est pas nécessairement d'Ore.
  Le rang intérieur de ${\displaystyle A\in R^{n\times m}}$ est noté ${\displaystyle \rho \left(A\right)}$ et est défini comme étant le plus petit entier ${\displaystyle r}$ pour lequel il existe une factorisation${\displaystyle A=BC,B\in R^{n\times r},C\in R^{r\times m}}$[1].
• Si ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ sont deux matrices, la somme diagonale de ces matrices, notée ${\displaystyle A\oplus B}$, est la matrice ${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}A&0\\0&B\end{array}}\right)=diag\left(A,B\right)}$.
• On dit qu'un anneau R a la propriété UGN[2] si pour tout entier n il existe un R-module qui ne peut pas être engendré par n éléments. La propriété UGN entraîne la propriété IBN (en) (voir l'article anneau d'Hermite)[1].
• Soit R un anneau. Les conditions suivantes sont équivalentes[3] :

1. Pour tous entiers ${\displaystyle n,m,p}$, des matrices quelconques ${\displaystyle A\in R^{n\times m}}$ et ${\displaystyle B\in R^{m\times p}}$ vérifient l'inégalité de Sylvester ${\displaystyle \rho \left(A\right)+\rho \left(B\right)-m\leq \rho \left(AB\right)}$.
2. Pour tous entiers ${\displaystyle n,m,p}$, si des matrices ${\displaystyle A=B\in R^{n\times m}}$ et ${\displaystyle B\in R^{m\times p}}$ sont telles que ${\displaystyle AB=0}$, alors ${\displaystyle m\geq \rho \left(A\right)+\rho \left(B\right)}$.

On appelle anneau de Sylvester un anneau qui vérifie les propriétés équivalentes ci-dessus.

• Soit ${\displaystyle A\in R^{n\times m}}$. On a les inégalités suivantes dès que les membres de gauche ont un sens[1] :${\displaystyle \rho \left(A\right)\leq \min \left(n,m\right),\rho \left(A\oplus B\right)\leq \rho \left(A\right)+\rho \left(B\right),}$
  ${\displaystyle \rho \left(AB\right)\leq \min \left(\rho \left(A\right),\rho \left(B\right)\right),\rho \left(\left[{\begin{array}{cc}A&B\end{array}}\right]\right)\geq \max \left(\rho \left(A\right),\rho \left(B\right)\right).}$
• Si R est un anneau d'Ore, on a, pour toute matrice ${\displaystyle A}$ à éléments dans R, ${\displaystyle rg\left(A\right)\leq \rho \left(A\right)}$, avec égalité si, et seulement si R est un anneau de Sylvester[4]. Un anneau d'Ore R est de Sylvester si, et seulement si sa dimension homologique faible[5] est inférieure ou égale à 2 et tout R-module plat est la réunion d'une famille filtrante croissante de sous-modules libres[3].
  Si R est un anneau sans diviseur de zéro noethérien, cette condition est vérifiée si, et seulement si R est de dimension homologique au plus égale à 2 et est projectif libre (voir l'article anneau d'Hermite)[6].
• Si R est un anneau de Sylvester, alors R est sans diviseur de zéro. De plus, pour toutes matrices ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ à éléments dans R, ${\displaystyle \rho \left(A\oplus B\right)=\rho \left(A\right)+\rho \left(B\right)}$; si ${\displaystyle A,B}$ et ${\displaystyle C}$ sont des matrices à éléments dans ${\displaystyle R}$ ayant le même nombre de colonnes et si ${\displaystyle \rho \left(\left[{\begin{array}{cc}A&B\end{array}}\right]\right)=\rho \left(\left[{\begin{array}{cc}A&C\end{array}}\right]\right)=\rho \left(A\right)}$, alors${\displaystyle \rho \left(\left[{\begin{array}{ccc}A&B&C\end{array}}\right]\right)=\rho \left(A\right)}$[1].
• Tout anneau de Sylvester a la propriété UGN, a sa dimension globale faible inférieure ou égale à 2, et est projectif libre[1].

Un anneau de Bézout (non nécessairement commutatif) est un anneau de Sylvester, et la première algèbre de Weyl ${\displaystyle A_{1}\left(k\right)}$ (où ${\displaystyle k}$ est un corps commutatif de caractéristique 0) est un exemple d'anneau de Dedekind qui n'est pas un anneau de Sylvester[1].