Position de Wyckoff

Il existe deux types de positions de Wyckoff :

• les positions générales ne sont invariantes que par l'application de l'opération identité (E). Tout groupe d'espace possède une et une seule position de Wyckoff générale, de coordonnées ${\displaystyle (x,y,z)}$ ;
• les positions spéciales sont invariantes par l'application de l'identité et d'au moins une autre opération de symétrie du groupe d'espace : ce sont les points fixes des éléments de symétrie (axe de rotation pure, plan de réflexion (miroir), centre d'inversion).

Parmi les 230 groupes d'espace tridimensionnels, 13 ne possèdent pas de position spéciale : P1, P2₁, Pc, Cc, P2₁2₁2₁, Pca2₁, Pna2₁, P4₁, P4₃, P3₁, P3₂, P6₁ et P6₅. Ce n'est pas le cas de tous les groupes d'espace ne contenant que des symboles d'éléments de symétrie translatoire. Par exemple, le groupe d'espace monoclinique P2₁/c, contenant un axe hélicoïdal d'ordre 2 parallèle à la direction b et un miroir translatoire perpendiculaire à b, est centrosymétrique : il possède quatre positions de Wyckoff spéciales dans l'unité asymétrique de la maille, situées sur les différents centres d'inversion en ${\displaystyle (0,0,0)}$, ${\displaystyle (}$1/2${\displaystyle ,0,0)}$, ${\displaystyle (0,0,}$1/2${\displaystyle )}$ et ${\displaystyle (}$1/2${\displaystyle ,0,}$1/2${\displaystyle )}$.

Une position de Wyckoff se distingue par son groupe de symétrie de site, qui est isomorphe à un groupe ponctuel cristallographique. Sa symétrie est indiquée en notation de Hermann-Mauguin : l'orientation de chaque élément d'opération de symétrie peut se lire à partir du symbole, en sachant que dans chaque famille cristalline les directions de symétrie sont données dans un ordre conventionnel.

Dans les familles cristallines de symétrie supérieure à monoclinique il existe plusieurs directions de symétrie : trois dans la famille orthorhombique, cinq dans la famille tétragonale, sept dans la famille hexagonal et treize dans la famille cubique. Toutefois, ces directions sont regroupées en trois ensembles ; à l'intérieur de chaque ensemble les directions sont équivalentes (physiquement indistinguables). Lorsqu'une position de Wyckoff n'est située que sur un élément de symétrie non translatoire (à l'exception du centre d'inversion), les directions sans élément de symétrie sont représentées par un point. Par exemple, la symétrie ponctuelle d'une position spéciale située uniquement sur un axe de rotation d'ordre 2 parallèle à la direction b dans un système orthorhombique est notée « .2. » : dans les directions a et c, il n'y a pas d'élément de symétrie non translatoire passant par cette position.

Le groupe de symétrie de site d'une position de Wyckoff est un sous-groupe du groupe d'espace. Le groupe de symétrie de site de la position générale est 1.

La multiplicité d'une position de Wyckoff est le nombre de points équivalents générés dans la maille conventionnelle par l'application de tous les éléments de symétrie du groupe d'espace.

Pour un groupe d'espace G, la multiplicité de la position de Wyckoff générale est égale au nombre de classes à droite de G suivant son sous-groupe normal de translations T, c'est-à-dire à l'ordre du groupe quotient G/T ou encore l'indice de T dans G, multiplié par le nombre de nœuds dans la maille.

La multiplicité d'une position spéciale d'un groupe d'espace est un diviseur de la multiplicité de la position générale.

Les positions de Wyckoff sont notées pour chaque groupe d'espace par une lettre latine minuscule, dite « lettre de Wyckoff », par ordre croissant des multiplicités. La lettre a désigne la position de Wyckoff possédant la plus haute symétrie de site. Une exception est faite pour le groupe d'espace Pmmm, qui possède le nombre maximal de positions de Wyckoff (27) : la position générale est dans ce cas notée α[2].

En général, les positions de Wyckoff contiennent une infinité d'orbites cristallographiques. Si les coordonnées d'une position de Wyckoff sont toutes fixes, alors cette position ne contient qu'une orbite cristallographique[3].

En effet, si on considère la position de Wyckoff générale de coordonnées ${\displaystyle (x,y,z)}$, les deux orbites {W_iX₁} et {W_iX₂} générées par les opérations W_i du groupe d'espace G et les points X₁ (0,14, 0,23, 0,35) et X₂ (0,02, 0,56, 0,24), par exemple, sont différentes mais possèdent le même groupe de symétrie de site : elles appartiennent toutes deux, ainsi qu'une infinité d'autres, à la même position de Wyckoff générale.

Par contre, dans le groupe d'espace Pnma, la position spéciale a, de coordonnées (0,0,0), ne contient qu'une seule orbite cristallographique contenant les points de coordonnées (0,0,0), (1/2,0,1/2), (0,1/2,0) et (1/2,1/2,1/2)[4].

Considérons le groupe d'espace orthorhombique Pmm2. Sa décomposition en classes à droite suivant son sous-groupe normal de translations produit un groupe d'ordre 4 contenant les opérations de symétrie suivantes :

• identité ;
• réflexion par rapport au plan de coordonnées ${\displaystyle (0,y,z)}$ ;
• réflexion par rapport au plan de coordonnées ${\displaystyle (x,0,z)}$ ;
• rotation d'ordre 2 (d'angle 180°) autour de l'axe de coordonnées ${\displaystyle (0,0,z)}$, intersection des deux plans ${\displaystyle (0,y,z)}$ et ${\displaystyle (x,0,z)}$.

L'application de ces opérations de symétrie sur la position générale ${\displaystyle (x,y,z)}$ génère les positions équivalentes ${\displaystyle (x,y,z)}$, ${\displaystyle (-x,y,z)}$, ${\displaystyle (x,-y,z)}$ et ${\displaystyle (-x,-y,z)}$ : la multiplicité de la position de Wyckoff générale dans le groupe d'espace Pmm2 est 4.

L'application des opérations de symétrie sur la position spéciale ${\displaystyle (x,0,z)}$ génère les positions équivalentes ${\displaystyle (x,0,z)}$ et ${\displaystyle (-x,0,z)}$ : la multiplicité de cette position est 2.

La position spéciale ${\displaystyle (0,0,z)}$ est invariante sous toutes les opérations de symétrie : sa multiplicité est 1.

Toutes les positions de Wyckoff du groupe d'espace Pmm2 possèdent au moins une coordonnée variable (${\displaystyle z}$) : elles contiennent toutes une infinité d'orbites cristallographiques.

Positions de Wyckoff du groupe d'espace Pmm2

Multiplicité	Lettre de Wyckoff	Symétrie ponctuelle	Coordonnées
4	i	1	${\displaystyle (x,y,z)}$	${\displaystyle (-x,y,z)}$	${\displaystyle (x,-y,z)}$	${\displaystyle (-x,-y,z)}$
2	h	m..	${\displaystyle (}$1/2${\displaystyle ,y,z)}$	${\displaystyle (}$1/2${\displaystyle ,-y,z)}$
2	g	m..	${\displaystyle (0,y,z)}$	${\displaystyle (0,-y,z)}$
2	f	.m.	${\displaystyle (x,}$1/2${\displaystyle ,z)}$	${\displaystyle (-x,}$1/2${\displaystyle ,z)}$
2	e	.m.	${\displaystyle (x,0,z)}$	${\displaystyle (-x,0,z)}$
1	d	mm2	${\displaystyle (}$1/2${\displaystyle ,}$1/2${\displaystyle ,z)}$
1	c	mm2	${\displaystyle (}$1/2${\displaystyle ,0,z)}$
1	b	mm2	${\displaystyle (0,}$1/2${\displaystyle ,z)}$
1	a	mm2	${\displaystyle (0,0,z)}$

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Wyckoff positions » (voir la liste des auteurs).

• (en) « Wyckoff Positions », sur Bilbao Crystallographic Server (consulté le 7 septembre 2010).
• (en) « Wyckoff position », sur IUCr Online Dictionary of Crystallography (consulté le 7 septembre 2010).