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Maille (cristallographie)

En cristallographie, une maille est une partie finie de l'espace, par translation de laquelle le motif cristallin peut ĂȘtre reproduit Ă  l'infini. Les dĂ©finitions de certains termes de cristallographie sont sujets Ă  des variations selon les auteurs, aussi cet article utilise les dĂ©finitions standard de l'IUCr. La disposition pĂ©riodique, discrĂšte et ordonnĂ©e des atomes Ă  l’intĂ©rieur d’un cristal constitue la structure cristalline. Si on gĂ©nĂ©ralise la notion de structure cristalline Ă  tout constituant (rĂ©el ou abstrait) qui respecte la pĂ©riodicitĂ© et l'existence d'un rĂ©seau discret typiques d'un cristal, on parle de motif cristallin[1]. Une maille est alors une zone de l'espace qui permet de crĂ©er le motif Ă  l'aide des translations par un vecteur du rĂ©seau de Bravais du cristal.

Le concept de maille a Ă©tĂ© proposĂ© par Gabriel Delafosse Ă  partir de la notion de « molĂ©cule intĂ©grante » introduite par RenĂ© Just HaĂŒy, qui avait remarquĂ© qu'un cristal se clive en des cristaux plus petits de mĂȘme forme que le cristal d'origine. L'Ă©tude des cristaux par diffraction des rayons X a permis de valider cette hypothĂšse.

ProblÚme de la définition de la maille

L'image illustre le fait qu'il y a plusieurs maniĂšres de paver une surface en obtenant pour finir exactement les mĂȘmes nƓuds ; la dĂ©finition d'une maille n'est pas unique.

Une maille est une unité de répétition par translation. Elle est définie par ses vecteurs de base, qui sont choisis de façon à former un triÚdre direct.

Le problĂšme est que pour un cristal donnĂ©, on peut dĂ©finir plusieurs mailles correspondant Ă  plusieurs translations possibles. Ceci pose un problĂšme, puisque deux cristallographes pourraient dĂ©crire un mĂȘme cristal de deux maniĂšres diffĂ©rentes, sans s'apercevoir qu'il s'agit du mĂȘme.

Maille et motif

  • Le contenu de la maille se rĂ©pĂšte par translation dans les 3 dimensions.
  • Le contenu de la maille peut ĂȘtre fait d'un motif qui se rĂ©pĂšte (Ă  l'intĂ©rieur de la maille) par des symĂ©tries autres que les translations. Par exemple centres, plans, axes

  • Le contenu d'une maille peut n'ĂȘtre constituĂ© que d'un motif (s'il n y a pas de symĂ©trie).
  • La connaissance du motif et des symĂ©tries permet de reconstituer le contenu de la maille, la connaissance de la maille permet de reconstruire par translation tout le cristal.

Maille primitive

Une maille primitive, ou simple, voire élémentaire, est le motif géométrique le plus simple qui, en se répétant indéfiniment, constitue un réseau cristallin. Les mailles représentées sur la figure de droite sont des mailles primitives.

Une maille primitive contient un nƓud du rĂ©seau Ă  chaque sommet, mais aucun nƓud Ă  l'intĂ©rieur de son volume ou de l'une de ses faces.

Maille de Wigner-Seitz

La Maille de Wigner-Seitz est un type particulier de maille primitive qui est construite comme la rĂ©gion de l'espace la plus proche d'un nƓud du rĂ©seau que de n'importe quel autre nƓud. Elle contient donc un nƓud au centre mais aucun nƓud aux sommets.

Maille réduite

Un algorithme a Ă©tĂ© trouvĂ© dans les annĂ©es 1970 pour isoler systĂ©matiquement un reprĂ©sentant unique parmi l'infinitĂ© de mailles primitives[2], appelĂ© alors maille rĂ©duite. La premiĂšre condition pour qu'une maille Ă©lĂ©mentaire soit la maille rĂ©duite est qu'elle soit basĂ©e sur les trois vecteurs de base non-coplanaires les plus petits. Des conditions particuliĂšres permettent de traiter le cas des rĂ©seaux oĂč cette condition ne suffit pas Ă  dĂ©terminer une maille unique. Aujourd'hui, cet algorithme de rĂ©duction a Ă©tĂ© implĂ©mentĂ© dans des logiciels qui automatisent la procĂ©dure[2].

Maille conventionnelle

Maille conventionnelle (rouge) ainsi que quatre mailles primitives (noires) du réseau orthorhombique centré oc à deux dimensions.

La maille conventionnelle est une maille dont les axes sont parallÚles aux directions de symétrie du réseau. Dans le cas de réseaux centrés ou à faces centrées, la maille conventionnelle n'est donc pas une maille primitive ; la maille conventionnelle équivaut à un nombre entier de mailles primitives, généralement noté Z.

Les cristaux dont les mailles conventionnelles sont transformĂ©es l'une en l'autre en ajoutant ou supprimant des nƓuds soit au centre des faces, soit Ă  l'intĂ©rieur du volume de la maille, appartiennent Ă  la mĂȘme famille cristalline.

Exemple. Le réseau orthorhombique centré représenté ci-contre possÚde deux axes de symétrie d'ordre deux : l'un horizontal et l'autre vertical. La maille conventionnelle du réseau (maille rouge dans la figure) possÚde des cÎtés parallÚles aux axes de symétrie du réseau, tandis que dans la maille primitive correspondante (maille noire dans la figure), les deux directions de symétrie sont bissectrices des axes (aP et bP).

Conventions de repérage

Le rĂ©seau monoclinique n’ayant qu’une direction de symĂ©trie, sa maille conventionnelle est normalement repĂ©rĂ©e :

  • en prenant la direction de symĂ©trie comme axe b ;
  • en choisissant le sommet origine de façon que les axes a et c forment le plus petit angle non-aigu.

Maille élémentaire

Le terme maille Ă©lĂ©mentaire est le plus utilisĂ© dans la littĂ©rature cristallographique francophone. Comme l'adjectif « Ă©lĂ©mentaire » le suggĂšre, la maille en question ne contient qu'un seul nƓud de rĂ©seau : il s'agit ainsi d'une maille primitive ou simple. Toutefois, dans l'usage courant le terme est souvent utilisĂ© comme synonyme de maille conventionnelle, qui parfois est une maille multiple. Dans ce cas, on obtient une « maille Ă©lĂ©mentaire » qui, Ă©tant multiple, n'a plus le caractĂšre « Ă©lĂ©mentaire ». Par exemple, la maille conventionnelle d'un rĂ©seau cubique Ă  faces centrĂ©es est une maille qui contient quatre nƓuds. La maille Ă©lĂ©mentaire de ce rĂ©seau ne coĂŻncide pas avec la maille conventionnelle mais avec la maille rhomboĂ©drique primitive.

Définition mathématique

La prise en compte du groupe d'espace G du cristal permet une dĂ©finition plus formelle de la notion de maille. Ce groupe est constituĂ© des opĂ©rations de symĂ©trie — isomĂ©trie affine — laissant invariant la structure cristalline. Ce groupe comporte notamment un sous-groupe normal T composĂ© des translations laissant le rĂ©seau invariant. Une maille primitive peut alors ĂȘtre vue comme un domaine fondamental du groupe T, c'est-Ă -dire la plus petite rĂ©gion reconstituant l'espace sous l'action de T. Une maille en gĂ©nĂ©ral est un domaine fondamental d'un sous-groupe de T.

Unité asymétrique

La notion de maille primitive peut ĂȘtre gĂ©nĂ©ralisĂ©e. On appelle unitĂ© asymĂ©trique la plus petite rĂ©gion de l'espace qui, sous l'action de toutes les opĂ©rations du groupe d'espace G (pas seulement les translations comme pour la maille), permet de reconstruire la structure cristalline. On en dĂ©duit facilement que :

  • les miroirs forment des faces de l'unitĂ© asymĂ©trique ;
  • les axes de rotations forment des arĂȘtes de l'unitĂ© asymĂ©trique ;
  • les centres d'inversion sont, soit des sommets de l'unitĂ© asymĂ©trique, soit positionnĂ©s au centre des faces ou des arĂȘtes de l'unitĂ© asymĂ©trique.

Ces restrictions ne s'appliquent pas aux axes hélicoïdaux et aux miroirs translatoires.

L'unité asymétrique correspond donc à la région fondamentale ou au domaine fondamental du groupe de symétrie du cristal. Ces termes seraient à préférer car une telle région n'est pas forcement dépourvue de symétrie mais peut avoir une forme réguliÚre, en contradiction au moins apparente avec le terme d'unité asymétrique. Ce dernier terme est toutefois le terme standard retenu par l'Union internationale de cristallographie.

Volume de la maille

Le volume de la maille est la racine carrée du déterminant du tenseur métrique qui, dans le cas général (triclinique), correspond à la formule :

Le volume de la maille peut ĂȘtre alternativement dĂ©fini comme le produit scalaire d'un vecteur de base par le produit vectoriel des deux autres vecteurs :

Le volume d'une maille Ă©tant positif, les vecteurs de base doivent former un triĂšdre direct.

Conventions de nommage des mailles

Le type de maille est identifiĂ© de façon unique par les translations qui lui correspondent. Pour des mailles de petite multiplicitĂ© (nombre de nƓuds contenus dans la maille) on utilise une notation synthĂ©tique qui consiste en une seule lettre en italique (minuscule en deux dimensions ; majuscule en trois dimensions). Les mailles pour lesquelles une telle notation a Ă©tĂ© introduite sont les suivantes.

En deux dimensions :

  • p : translations t(10), t(01)
  • c : translations t(10), t(01), t(Âœ,Âœ)

En trois dimensions :

  • P : translations t(100), t(010), t(001)
  • A : translations t(100), t(010), t(001), t(0,Âœ,Âœ)
  • B : translations t(100), t(010), t(001), t(Âœ,0,Âœ)
  • C : translations t(100), t(010), t(001), t(Âœ,Âœ,0)
  • I : translations t(100), t(010), t(001), t(Âœ,Âœ,Âœ)
  • F : translations t(100), t(010), t(001), t(Âœ,Âœ,0), t(Âœ,0,Âœ), t(0,Âœ,Âœ)
  • R : translations t(100), t(010), t(001), t(⅔,⅓,⅓), t(⅓,⅔,⅔)
  • H : translations t(100), t(010), t(001), t(⅔,⅓,0), t(⅓,⅔,0)
  • D : translations t(100), t(010), t(001), t(⅓,⅓,⅓), t(⅔,⅔,⅔)

Ces mailles ne sont pas toutes compatibles avec les différents types de réseau de Bravais.

Notes et références

  1. Le terme de motif cristallin est parfois utilisé pour décrire le contenu de la maille. Cette acception ne correspond pas à la définition de crystal pattern trouvée dans les tables internationales de la cristallographie, ni à la définition trouvée dans des ouvrages de référence en français comme les Leçons de cristallographie de Georges Friedel.
  2. [PDF] (en) Determination of Reduced Cells in Crystallography, A. D. Mighel, V. L. Karen, R. Munro

Annexes

Articles connexes

Liens externes

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