Polynôme de Bernstein-Sato

L'introduction des polynômes de Bernstein-Sato était initialement motivée par un problème posé par Israel Gelfand au congrès international des mathématiciens de 1954, à Amsterdam : si ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ est une fonction analytique réelle, alors on peut construire pour tout complexe ${\displaystyle s}$ l'objet ${\displaystyle f_{+}^{s}(x)={\boldsymbol {1}}_{f(x)>0}f(x)^{s}}$. En tant que fonction, ${\displaystyle f_{+}^{s}}$ est continue selon ${\displaystyle x}$ et analytique en ${\displaystyle s}$, là où ${\displaystyle s}$ est de partie réelle positive. Gelfand demande alors : peut-on prolonger analytiquement ${\displaystyle f_{+}^{s}}$ à tout le plan complexe ?

C'est pour répondre à cette question que Sato a introduit le polynôme ${\displaystyle b}$, dont Bernstein a montré l'existence en général[8].

La construction a depuis été étendue à des variétés algébriques générales[9] et plusieurs algorithmes sont connus pour déterminer les polynômes de Bernstein-Sato dans des cas d'intérêt[10] - [11].

• Considérons le polynôme ${\displaystyle P=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}$ (qui correspond au calcul du carré de la norme euclidienne). On a ${\displaystyle \Delta P(x)^{\lambda +1}=4(\lambda +1)(\lambda +n/2)P(x)^{\lambda }}$ de sorte que le polynôme de Bernstein-Sato de ${\displaystyle P}$ est ${\displaystyle (\lambda +1)(\lambda +n/2)}$.
• Considérons l'intégrale ${\displaystyle \Gamma _{f}(\lambda )=\int _{\mathbb {R} }x^{2\lambda }f(x)\,\mathrm {d} x}$, avec ${\displaystyle f}$ une fonction ${\displaystyle C^{\infty }}$qui s'annule aux infinis. En intégrant par parties, on obtient ${\displaystyle (2\lambda +1)(2\lambda +2)\int x^{2\lambda }f(x)\,\mathrm {d} x=\int x^{2\lambda +1}f''(x)\,\mathrm {d} x}$ qui montre notamment que ${\displaystyle \Gamma _{f}}$ est une intégrale bien définie et holomorphe (pour ${\displaystyle \operatorname {Re} \lambda >0}$) et qu'elle admet un prolongement méromorphe à ${\displaystyle \mathbb {C} }$, avec des pôles dans ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\mathbb {N} }$. On reconnaît en fait la présence du polynôme de Bernstein-Sato de ${\displaystyle x^{2}}$ calculé précédemment : ${\displaystyle (\lambda +1)(\lambda +1/2)}$.
• Il s'agit d'un phénomène général : l'intégrale de l'exemple précédent, où ${\displaystyle x^{2}}$ est remplacé par un polynôme quelconque, donne lieu à une équation fonctionnelle similaire. Elle sera donc prolongeable au plan complexe de manière méromorphe, et les pôles correspondent aux zéros du polynôme de Bernstein-Sato moins un entier.
• Soit ${\displaystyle P=x_{1}^{2}+x_{2}^{3}}$, alors le polynôme de Bernstein-Sato correspondant est ${\displaystyle (\lambda +1)\left(\lambda +{\frac {5}{6}}\right)\left(\lambda +{\frac {7}{6}}\right)}$.

• Tous les polynômes de Bernstein sont scindés sur ${\displaystyle \mathbb {Q} }$[12].
• Le polynôme de Bernstein-Sato montre qu'un polynôme peut être inversé par une distribution tempérée, d'où on tire le théorème de Malgrange-Ehrenpreis.