Polynôme de Bateman

Bateman[1] définit initialement les polynômes ${\displaystyle F_{n}}$ en termes de la fonction hypergéométrique et d'une série génératrice :

$${\displaystyle (1-t)^{z}F\left({\frac {1+z}{2}},{\frac {1+z}{2}},1;t^{2}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }t^{n}F_{n}(z)}$$

Une définition équivalente à partir de la fonction hypergéométrique généralisée est :

$${\displaystyle F_{n}(z)={}_{3}F_{2}\left({\begin{array}{c}-n,~n+1,~{\tfrac {1}{2}}(z+1)\\1,~1\end{array}};1\right)}$$

Bateman montre également que ces polynômes satisfont à une relation de récurrence : ${\displaystyle (n+1)^{2}F_{n+1}(z)=-(2n+1)zF_{n}(z)+n^{2}F_{n-1}(z)}$, avec ${\displaystyle F_{0}(z)=1,F_{1}(z)=-z}$. En particulier, cette relation établit que le degré de ${\displaystyle F_{n}}$est exactement ${\displaystyle n}$.

Carlitz a montré qu'à un changement de variable près, les polynômes de Bateman coïncident avec les polynômes de Touchard[7] :

$${\displaystyle Q_{n}(x)=(-1)^{n}2^{n}n!{\binom {2n}{n}}^{-1}F_{n}(2x+1)}$$

Une caractérisation des polynômes de Bateman à partir des polynômes de Legendre ${\displaystyle P_{n}}$ et des fonctions hyperboliques est donnée par la relation :

$${\displaystyle F_{n}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)\operatorname {sech} (x)=\operatorname {sech} (x)P_{n}(\tanh(x))}$$

où on interprète le membre de gauche comme un opérateur pseudo-différentiel. Cette dernière écriture se prête naturellement à une généralisation, due à Pasternack, à savoir[8] :

$${\displaystyle F_{n}^{(m)}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)\operatorname {sech} ^{m+1}(x)=\operatorname {sech} ^{m+1}(x)P_{n}(\tanh(x))}$$

qui possède également une écriture à partir de la fonction hypergéométrique généralisée[8] - [9], pour tout ${\displaystyle m\in \mathbb {C} \setminus \{-1\}}$, une relation de récurrence analogue à ${\displaystyle F_{n}}$, et qui forme encore une famille orthogonale[Note 2] - [10] - [11].

Enfin, les polynômes de Bateman peuvent être exprimés en fonction des polynômes de Hahn[12] - [4] - [13] ${\displaystyle p_{n}}$(ou des polynômes de Wilson[14], qui les généralisent) après changement de variable, précisément ${\displaystyle p_{n}\left(x;{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right)=i^{n}n!F_{n}\left(2ix\right)}$.

Les polynômes de Bateman forment une famille orthogonale, pour le produit scalaire défini ainsi[15] :

$${\displaystyle \langle F_{n},F_{m}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }F_{m}(ix)F_{n}(ix)\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {\pi x}{2}}\right)\,\mathrm {d} x={\frac {4(-1)^{n}}{\pi (2n+1)}}\delta _{m,n}}$$

où ${\displaystyle \delta _{m,n}}$est la fonction de Kronecker. En particulier, il ne s'agit pas de polynômes orthonormés, mais on peut poser ${\displaystyle B_{n}(z)=2i^{n}F_{n}(iz)/{\sqrt {\pi (2n+1)}}}$qui vérifient ${\displaystyle \langle B_{n},B_{m}\rangle =\delta _{m,n}}$, les « polynômes de Bateman normalisés ».

On obtient les premiers polynômes de la famille en itérant la relation de récurrence, à partir des deux premières valeurs ${\displaystyle F_{0}(z)=1,F_{1}(z)=-z}$. Ainsi :

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{2}(x)&={\frac {1}{4}}+{\frac {3}{4}}x^{2}\\F_{3}(x)&=-{\frac {7}{12}}x-{\frac {5}{12}}x^{3}\\F_{4}(x)&={\frac {9}{64}}+{\frac {65}{96}}x^{2}+{\frac {35}{192}}x^{4}\\F_{5}(x)&={-{\frac {407}{960}}}x-{\frac {49}{96}}x^{3}-{\frac {21}{320}}x^{5}\end{aligned}}}$