Polygone de Petrie

John Flinders Petrie, fils unique de l'égyptologue Flinders Petrie, naquit en 1907. Il montra à l'école de remarquables aptitudes en mathématiques. En se concentrant, il pouvait répondre aux questions sur des objets quadridimensionnels en les visualisant mentalement.

Il fut le premier à réaliser l'importance des polygones visibles seulement sous un certain angle par transparence, et dont les sommets n'étaient pas coplanaires, sur la surface des polyèdres et des polytopes des dimensions au-dessus. Il fut un grand ami de Coxeter, qui nomma ces polygones en son honneur. L'idée des polygones de Petrie a été étendue bien plus tard aux polytopes semi-réguliers.

En 1972, quelques mois après sa retraite, Petrie fut tué par une voiture alors qu'il essayait de traverser une grande route à côté de sa maison dans le Surrey.

Les seuls polyèdres réguliers convexes sont les cinq solides de Platon. Le polygone de Petrie d'un polyèdre régulier {p, q} (voir symbole de Schläfli) possède h côtés, où

cos²(π/h) = cos²(π/p) + cos²(π/q).

Les polyèdres duaux, {p, q} et {q, p}, sont donc contenus par les mêmes polygones de Petrie.

Polygones de Petrie pour les polyèdres réguliers (en rouge)

tétraèdre	cube	octaèdre	dodécaèdre	icosaèdre
centré sur une arête	centré sur un sommet	centré sur une face	centré sur une face	centré sur un sommet
4 côtés	6 côtés	6 côtés	10 côtés	10 côtés
V:(4,0)	V:(6,2)	V:(6,0)	V:(10,10,0)	V:(10,2)

Les polygones de Petrie sont les bords (en rouge) de ces projections orthogonales. Les lignes bleues représentent les arêtes de devant, et les lignes noires les arêtes de derrière.

Les sommets, qui sont sur des cercles concentriques, sont comptés par "couches" à partir de l'extérieur jusqu'à l'intérieur, par la notation du polygone de Petrie : V:(a,b,...) avec un 0 à la fin si la couche centrale est vide.

Les polygones de Petrie pour les polychores réguliers {p, q, r} (voir symbole de Schläfli) peuvent également être déterminés.

Les polychores duaux {p, p, q} et {p, q, q} sont contenus par les mêmes polygones de Petrie.

Polygones de Petrie des 6 polychores réguliers (polytopes réguliers à 4 dimensions)

{3,3,3} pentachore (4-simplexe) 5 côtés V:(5,0)	{3,3,4} hexadécachore (4-hyperoctaèdre) 8 côtés V:(8,0)	{4,3,3} tesseract (4-hypercube) 8 côtés V:(8,8,0)
{3,4,3} 24-cellules 12 côtés V:(12,6,6,0)	{5,3,3} 120-cellules 30 côtés V:((30,60)3,603,30,60,0)	{3,3,5} 600-cellules 30 côtés V:(30,30,30,30,0)

Ensuite, comme l'a démontré Ludwig Schläfli, il n'y a pas plus de 3 polytopes réguliers par dimension, et cela dès la cinquième. Ces trois n-polytopes réguliers appartiennent respectivement à 3 grandes familles de polytopes : les n-simplexes, les hyperoctaèdres et les hypercubes.

Le polygone de Petrie pour un polytope régulier {p, q, r, … , w} peut aussi être déterminé.

La famille des simplexes

Dans la famille des simplexes, tout n-simplexe est projeté dans un polygone à n + 1 côtés, avec les sommets à la périphérie.

Pour un simplexe, toutes les diagonales du polygone de Petrie sont tracées.

Les simplexes sont des polytopes auto-duaux : chaque simplexe est son propre dual, car la permutation des 3 de sa notation de Schläfli {3,3,3,...,3} est invariante.

Polygones de Petrie des n-simplexes

n = 1 {} segment 1-simplexe 2 côtés (le segment est alors considéré en tant que digone) V:(2,0)	n = 2 {3} triangle 2-simplexe 3 côtés V:(3,0)	n = 3 {3,3} tétraèdre 3-simplexe 4 côtés V:(4,0)	n = 4 {33} Pentachore 4-simplexe 5 côtés V:(5,0)	n = 5 {34} 5-simplexe 6 côtés V:(6,0)
n = 6 {35} 6-simplexe 7 côtés V:(7,0)	n = 7 {36} 7-simplexe 8 côtés V:(8,0)	n = 8 {37} 8-simplexe 9 côtés V:(9,0)	n = 9 {38} 9-simplexe 10 côtés V:(10,0)	n = 10 {39} 10-simplexe 11 côtés V:(11,0)

La famille des hypercubes

Dans la famille des hypercubes, tout n-hypercube est projeté dans un polygone à 2n côtés.

Les duaux respectifs des hypercubes {4,3,3,3,...,3} sont les hyperoctaèdres {3,3,3,...,3,4}.

Polygones de Petrie des hypercubes

n = 1 {} segment (digone) 2 côtés V:(2,0)	n=2 {4} carré 4 côtés V:(4,0)	n = 3 {4,3} cube 6 côtés V:(6,2)	n = 4 {4,32} tesseract 8 côtés V:(8,8,0)	n = 5 {4,33} penteract 10 côtés V:(10,10,10,2)
n = 6 {4,34} hexéract 12 côtés	n = 7 {4,35 heptéract 14 côtés	n = 8 {4,36} octéract 16 côtés	n = 9 {4,37} ennéract 18 côtés	n = 10 {4,38} décaract 20 côtés

La famille des hyperoctaèdres

Dans la famille des hyperoctaèdres, tout n-octaèdre est projeté dans un polygone de Petrie à 2n côtés.

Les duaux respectifs des hyperoctaèdres {3,3,3,...,3,4} sont les hypercubes {4,3,3,3,...,3}.

Polygones de Petrie des hyperoctaèdres

n = 1 {} 2 côtés V:(2,0)	n = 2 {4} carré 4 côtés V:(4,0)	n = 3 {3,4} octaèdre 6 côtés V:(6,0)	n = 4 {32,4} 16-cellules 8 côtés V:(8,0)	n = 5 {33,4} penta-croisé 10 côtés V:(10,0)
n = 6 {34,4} hexa-croisé 12 côtés V:(12,0)	n = 7 {35,4} hepta-croisé 14 côtés V:(14,0)	n = 8 {36,4} octa-croisé 16 côtés V:(16,0)	n = 9 {37,4} ennéa-croisé 18 côtés V:(18,0)	n = 10 {38,4} déca-croisé 20 côtés V:(20,0)

, dont les références étaient :

• (en) H. S. M. Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover, 1999 (ISBN 978-0-486-40919-1)
• (en) H.S.M. Coxeter, Regular complex polytopes, 1974, Section 4.3 Flags and Orthoschemes, Section 11.3 Petrie polygons
• (en) H.S.M. Coxeter, Regular polytopes, 3^e éd., New York, Dover, 1973 (sec 2.6 Petrie Polygons p. 24-25 et Chapter 12, p. 213-235, The generalized Petrie polygon)
• (en) H.S.M. Coxeter, Regular complex polytopes, 1974.

• (en) Eric W. Weisstein, « Petrie Polygon », sur MathWorld
• (en) Eric W. Weisstein, « Hypercube Graph », sur MathWorld
• (en) Eric W. Weisstein, « Cross Polytope », sur MathWorld