Optimisation SDP

Un problème d'optimisation SDP s'écrit de la manière suivante

(${\displaystyle P_{SDP})\quad \left\{{\begin{array}{l}{\inf }_{X\in {\mathcal {S}}^{n}}\;\langle C,X\rangle \\A(X)=b\\X\succcurlyeq 0,\end{array}}\right.}$

où ${\displaystyle C\in {\mathcal {S}}^{n}}$, ${\displaystyle A:{\mathcal {S}}^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ est une application linéaire et ${\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{m}}$. Il s'agit donc de minimiser un critère linéaire sur l'intersection du cône des matrices semi-définies positives et d'un sous-espace affine. C'est que l'on appelle la formulation primale d'un problème SDP.

Le critère et la contrainte d'égalité sont linéaires (ou affines), mais la contrainte d'appartenance au cône ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{+}^{n}}$ est « très » non linéaire, éventuellement non différentiable. Elle exprime en effet que ${\displaystyle v^{\top }Xv\geqslant 0}$ pour tout ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}$ ; de ce point de vue, ${\displaystyle (P_{SDP})}$ est un problème d'optimisation semi-infinie (il a un nombre infini de contraintes). Elle exprime aussi que toutes les valeurs propres de ${\displaystyle X}$ (des fonctions non linéaires et non différentiables de ${\displaystyle X}$) doivent être positives ; de ce point de vue, le problème est non convexe et non différentiable. Elle exprime enfin que tous les mineurs principaux de ${\displaystyle X}$ (des polynômes des éléments de ${\displaystyle X}$) doivent être positifs ; de ce point de vue, le problème est non linéaire, non convexe, à données polynomiales. Cependant, le critère du problème étant linéaire et son ensemble admissible étant convexe, le problème SDP est en général considéré comme un problème d'optimisation convexe.

Si les problèmes d'optimisation SDP ont une structure assez semblable à celle de l'optimisation linéaire, qui les rend très vite familiers, les résultats que l'on connaît en optimisation linéaire ne s'étendent pas tous tels quels à l'optimisation SDP ; on ne peut guère en être étonné, vu la généralité du formalisme. Il faudra y prendre garde.

On note

la valeur optimale du problème ${\displaystyle (P_{SDP})}$ et son ensemble de solution. On note

les ensembles des matrices admissibles et strictement admissibles de ${\displaystyle (P_{SDP})}$.

On peut représenter l'application linéaire ${\displaystyle A}$ au moyen de ${\displaystyle m}$ matrices ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {S}}^{n}}$ (théorème de Riesz-Fréchet). On a

Dans cette représentation, l'application ${\displaystyle A}$ est surjective si, et seulement si, les matrices ${\displaystyle A_{i}}$ sont linéairement indépendantes dans ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{n}}$.

On se donne un produit scalaire sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$, également noté ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$, et l'on introduit l'opérateur ${\displaystyle A^{*}:\mathbb {R} ^{m}\to {\mathcal {S}}^{n}}$ adjoint de ${\displaystyle A}$, qui est défini par

La méthode la plus simple pour obtenir un dual de ${\displaystyle (P_{SDP})}$ est d'utiliser la dualisation lagrangienne de sa contrainte d'égalité. On utilise donc le lagrangien ${\displaystyle \ell$ :{\mathcal {S}}_{+}^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} } défini par

et on écrit ${\displaystyle (P_{SDP})}$ comme un inf-sup :

Le dual s'obtient alors en inversant l'infimum et le supremum

Après calculs, le problème dual de ${\displaystyle (P_{SDP})}$ obtenu par ce procédé consiste donc à trouver ${\displaystyle (y,S)\in \mathbb {R} ^{m}\times {\mathcal {S}}^{n}}$ solution de

${\displaystyle (D_{SDP})\quad {\begin{cases}\textstyle \sup _{(y,S)\in \mathbb {R} ^{m}\times {\mathcal {S}}^{n}}\;\langle b,y\rangle \\A^{*}(y)+S=C\\S\succcurlyeq 0.\end{cases}}}$

On note

la valeur optimale du problème ${\displaystyle (D_{SDP})}$ et son ensemble de solution. On note

les ensembles des couples admissibles et strictement admissibles de ${\displaystyle (D_{SDP})}$. On note enfin

L'écart entre les valeurs optimales primale et duale est ce que l'on appelle le saut de dualité :

On dit qu'il n'y a pas de saut de dualité si le saut de dualité est nul.

Si l'on utilise le produit scalaire euclidien dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ et si l'on prend la représentation ci-dessus de ${\displaystyle A}$, son adjoint ${\displaystyle A^{*}}$ s'écrit

Dans ce cas, le problème dual peut se voir comme celui cherchant à maximiser une forme linéaire en ${\displaystyle y}$ sur ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{n}}$, tout en imposant qu'une combinaison affine de matrices (avec coefficients ${\displaystyle y_{i}}$) soit semi-définie positive :

Cette dernière relation est ce que l'on appelle une inégalité matricielle linéaire (on devrait dire affine) ; IML en abrégé.

La proposition suivante donne quelques conséquences simples de la dualisation lagrangienne de ${\displaystyle (P_{SDP})}$. Le point 1 est connu sous le nom de dualité faible. L'écart ${\displaystyle \operatorname {val} (P_{SDP})-\operatorname {val} (D_{SDP})}$ entre valeurs optimales primale et duale est appelé le saut de dualité. Le point 2 montre que ${\displaystyle \langle X,S\rangle }$ est l'écart entre valeurs primale et duale pour un triplet admissible ${\displaystyle (X,y,S)\in {\mathcal {A}}}$. Le point 3 donne une condition suffisante d'optimalité élémentaire, mais bien utile.

La réciproque du point 3 est fausse en général, mais on verra qu'elle a lieu si ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{s}\neq \varnothing }$. Lorsqu'elle a lieu, ${\displaystyle (X,y)}$ est un point-selle du lagrangien ${\displaystyle \ell }$ défini ci-dessus sur ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{+}^{n}\times \mathbb {R} ^{m}}$.

Nous nous intéressons ici à la question de la réalisabilité des problèmes primal et dual. Quand peut-on trouver une matrice ${\displaystyle X\succcurlyeq 0}$ telle que ${\displaystyle A(X)=b}$ ? Quand peut-on trouver un vecteur ${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{m}}$ tel que ${\displaystyle A^{*}(y)\preccurlyeq C}$ ?

Dans ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\geqslant )}$, ces questions trouvent une réponse dans les théorèmes de l'alternative, qui sont eux-mêmes des conséquences du lemme de Farkas. Une première application de la forme généralisée de ce lemme à l'optimisation SDP s'obtient en prenant ${\displaystyle \mathbb {E}$ :={\mathcal {S}}^{n}} , ${\displaystyle \mathbb {F}$ :=\mathbb {R} ^{m}} , ${\displaystyle L:=\mathbb {R} ^{m}}$, ${\displaystyle K:={\mathcal {S}}_{+}^{n}}$ et l'application ${\displaystyle A:{\mathcal {S}}^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ comme application linéaire ; cela donne

On ne peut pas se passer de l'adhérence à droite, car ${\displaystyle A({\mathcal {S}}_{+}^{n})}$ n'est pas nécessairement un fermé, alors que le cône dual à gauche est toujours fermé. La situation est donc différente de celle rencontrée en optimisation linéaire où ${\displaystyle A(\mathbb {R} _{+}^{n})}$ est un polyèdre convexe, donc un fermé. On dit alors que les contraintes primales en ${\displaystyle X\in {\mathcal {S}}^{n}}$,

sont quasi-réalisables si ${\displaystyle b\in {\overline {A({\mathcal {S}}_{+}^{n})}}}$, c'est-à-dire si, pour tout ${\displaystyle \varepsilon >0}$, il existe ${\displaystyle b_{\varepsilon }\in \mathbb {R} ^{m}}$ et ${\displaystyle X_{\varepsilon }\in {\mathcal {S}}_{+}^{n}}$ tels que ${\displaystyle \|b_{\varepsilon }-b\|\leq \varepsilon }$ et ${\displaystyle A(X_{\varepsilon })=b_{\varepsilon }}$.

De même, des conditions duales d'admissibilité du problème dual ${\displaystyle (D_{SDP})}$ peuvent être obtenues par le lemme de Farkas généralisé avec ${\displaystyle \mathbb {E}$ :=\mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{m}\times {\mathcal {S}}^{n}} , ${\displaystyle \mathbb {F}$ :={\mathcal {S}}^{n}} , ${\displaystyle L:={\mathcal {S}}^{n}}$, ${\displaystyle K:=\mathbb {R} _{+}^{m}\times \mathbb {R} _{+}^{m}\times {\mathcal {S}}_{+}^{n}}$ et l'application linéaire ${\displaystyle (u,v,X)\in \mathbb {E} \to \mathbb {F} \to A^{*}(u-v)+S}$. Cela donne

On dit alors que les contraintes duales en ${\displaystyle (y,S)\in \mathbb {R} ^{m}\times {\mathcal {S}}^{n}}$,

sont quasi-réalisables si ${\displaystyle C\in {\overline {A^{*}(\mathbb {R} ^{m})+{\mathcal {S}}_{+}^{n}}}}$, c'est-à-dire si, pour tout ${\displaystyle \varepsilon >0}$, il existe ${\displaystyle C_{\varepsilon }\in {\mathcal {S}}^{n}}$, ${\displaystyle y_{\varepsilon }\in \mathbb {R} ^{m}}$ et ${\displaystyle S_{\varepsilon }\in {\mathcal {S}}_{+}^{n}}$ tels que ${\displaystyle \|C_{\varepsilon }-C\|\leq \varepsilon }$ et ${\displaystyle A^{*}(y_{\varepsilon })+S_{\varepsilon }=C_{\varepsilon }}$.

Le résultat suivant résume cette discussion.

La quasi-réalisabilité des contraintes primales et duales n'est pas une propriété très forte (elle n'assure même pas leur réalisabilité !). Numériquement, il est certainement préférable d'avoir une réalisabilité plus robuste, insensible à de petites perturbations du second membre. On définit donc les concepts suivants. On dit que les contraintes primales sont fortement réalisables si

où l'opérateur «int» désigne la prise de l'intérieur. De même, on dit que les contraintes duales sont fortement réalisables si

On peut obtenir des caractérisations de réalisabilité en termes de géométrie algébrique[2].

Notons ${\displaystyle (P_{L})}$ le problème d'optimisation linéaire primal et ${\displaystyle (D_{L})}$ son dual lagrangien. En optimisation linéaire, les résultats d'existence de solution et de dualité forte assurent que les propriétés suivantes sont équivalentes :

• ${\displaystyle (P_{L})}$ et ${\displaystyle (D_{L})}$ sont réalisables,
• ${\displaystyle (P_{L})}$ est réalisable et borné,
• ${\displaystyle (D_{L})}$ est réalisable et borné,
• ${\displaystyle (P_{L})}$ a une solution,
• ${\displaystyle (D_{L})}$ a une solution.

De plus, dans chacun de ces cas, il n'y a pas de saut de dualité.

Bien que l'optimisation linéaire et l'optimisation SDP aient une structure très semblable, les équivalences ci-dessus ne tiennent plus en optimisation SDP. Voici quelques contre-exemples qui pourront servir de garde-fous.

1. ${\displaystyle (P_{SDP})}$ est réalisable et borné, mais n'a pas de solution ; ${\displaystyle (D_{SDP})}$ a une solution ; il n'y a pas de saut de dualité. Voici un exemple avec ${\displaystyle n=2}$ et ${\displaystyle m=1}$ :
   ${\displaystyle C={\begin{pmatrix}2&-1\\-1&0\end{pmatrix}},\quad A_{1}={\begin{pmatrix}0&-1\\-1&2\end{pmatrix}},\quad b=2.}$
2. ${\displaystyle (P_{SDP})}$ a une solution ; ${\displaystyle (D_{SDP})}$ est réalisable et borné, mais n'a pas de solution ; il n'y a pas de saut de dualité ; c'est le cas symétrique du précédent. Voici un exemple avec ${\displaystyle n=2}$ et ${\displaystyle m=2}$ :
   ${\displaystyle C={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad A_{1}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&0\end{pmatrix}},\quad A_{2}={\begin{pmatrix}0&0\\0&-1\end{pmatrix}},\quad b={\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}.}$
3. ${\displaystyle (P_{SDP})}$ n'est pas réalisable ; ${\displaystyle (D_{SDP})}$ a une solution. Voici un exemple avec ${\displaystyle n=2}$ et ${\displaystyle m=2}$ :
   ${\displaystyle C={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},\quad A_{1}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},\quad A_{2}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad b={\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}}.}$
4. ${\displaystyle (P_{SDP})}$ et ${\displaystyle (D_{SDP})}$ ont une solution ; il y a un saut de dualité. Voici un exemple avec ${\displaystyle n=3}$ et ${\displaystyle m=2}$ :
   ${\displaystyle C={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}},\quad A_{1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\quad A_{2}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&2\end{pmatrix}},\quad b={\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}}.}$

Le résultat d'existence de solution classique est le suivant. Il prend comme hypothèse des conditions ressemblant à la qualification de Slater.

On peut résoudre le problème avec une erreur additive ${\displaystyle \epsilon }$ en un temps polynomial en la taille du problème et en ${\displaystyle \log(1/\epsilon )}$.

• Optimisation conique
• Optimisation linéaire
• Conditions d'optimalité (dimension finie)

• J. Ch. Gilbert, Éléments d'Optimisation Différentiable — Théorie et Algorithmes, syllabus de cours à l'ENSTA ParisTech, Paris.

• (en) F. Alizadeh (1995). Interior point methods in semidefinite programming with applications to combinatorial optimization. SIAM Journal on Optimization, 5, 13–51.
• (en) M. F. Anjos, J.-B. Lasserre (2012). Handbook on Semidefinite, Conic and Polynomial Optimization. Springer.
• (en) E. de Klerk (2002). Aspects of Semidefinite Programming - Interior Point Algorithms and Selected Applications. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht.
• (en) R. D. C. Monteiro (2003). First- and second-order methods for semidefinite programming. Mathematical Programming, 97, 209–244.
• (en) L. Vandenberghe, S. Boyd (1996). Semidefinite programming. SIAM Review, 38, 49–95.
• (en) H. Wolkowicz, R. Saigal, L. Vandenberghe, éditeurs (2000). Handbook of Semidefinite Programming – Theory, Algorithms, and Applications. Kluwer Academic Publishers.