Lagrangien (optimisation)

Le lagrangien est construit à partir des multiplicateurs de Lagrange : si on considère le problème suivant :

${\displaystyle \forall \mathbf {x} \in E\subset \mathbb {R} ^{n}\quad \min _{\mathbf {x} \in G}f(\mathbf {x} )\quad {\text{avec}}\quad G=\{\mathbf {x} \in E\mid \varphi _{i}(\mathbf {x} )=0,i=1,...,m,\psi _{j}(\mathbf {x} )\leq 0,j=1,...,p\}.}$

Le lagrangien du problème s'écrit comme :

${\displaystyle L(\mathbf {x} ,\mathbf {\lambda } ,\mathbf {\mu } )=f(\mathbf {x} )+\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}\varphi _{i}(\mathbf {x} )+\sum _{j=1}^{p}\mu _{j}\psi _{j}(\mathbf {x} ).}$

• Conditions de Karush-Kuhn-Tucker