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Fonction de perturbation

Pour deux paires d'espaces localement convexes séparés et , en posant , on peut écrire le problème d'optimisation primal comme

Pour un problème sous contraintes, on peut corriger f par f + Icontraintes avec I est la fonction indicatrice de l'espace des contraintes. Une fonction est une fonction de perturbation si elle est telle que

.

Par exemple, pour un problème d'optimisation primal

on définit la fonction de perturbation v comme

Propriétés

Le problème primal est dit stable si v(0) est fini (le problème a une solution) et s'il existe un réel K tel que

Exemples

Lagrangien

Soient et deux paires duales. Pour un problème primal donné (minimiser f(x)) et une fonction de perturbation associée (F(x,y)) alors le Lagrangien est le conjugué négatif de F par rapport à y (i.e. le conjugué concave). Le Lagrangien est défini par

En particulier la équation du minmax en dualité faible peut être vue comme

Si le problème primal est

avec, alors si la perturbation est donnée par

alors la fonction de perturbation est

Ainsi la connexion à la dualité lagrangienne peut être vue, comme L peut être changée trivialement en

Dualité de Fenchel

Pour une fonction f convexe et fermée, on définit la transformée de Fenchel-Rockafellar ou Fenchel-Legendre ou polaire, la fonction

Elle est bien une fonction de perturbation dans le sens où

Soient et deux paires duales. On suppose qu'il existe une application linéaire avec pour opérateur adjoint . On suppose que la fonction objectif primale (avec les contraintes sous forme de fonctions indicatrices) peut être écrites sous la forme de sorte que . Alors la fonction de perturbation est donnée par

En particulier, si la fonction primale est alors la fonction de perturbation est donnée par , qui est la définition traditionnelle de la dualité de Fenchel[1].

Références

  1. Radu Ioan Boţ, Conjugate Duality in Convex Optimization, Springer, (ISBN 978-3-642-04899-9), p. 68
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