Fonction de perturbation

Soient ${\displaystyle (X,X^{*})}$ et ${\displaystyle (Y,Y^{*})}$ deux paires duales. Pour un problème primal donné (minimiser f(x)) et une fonction de perturbation associée (F(x,y)) alors le Lagrangien ${\displaystyle L:X\times Y^{*}\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ est le conjugué négatif de F par rapport à y (i.e. le conjugué concave). Le Lagrangien est défini par

${\displaystyle L(x,y^{*})=\inf _{y\in Y}\left\{F(x,y)-y^{*}(y)\right\}.}$

En particulier la équation du minmax en dualité faible peut être vue comme

${\displaystyle \sup _{y^{*}\in Y^{*}}-F^{*}(0,y^{*})=\sup _{y^{*}\in Y^{*}}\inf _{x\in X}L(x,y^{*})\leq \inf _{x\in X}\sup _{y^{*}\in Y^{*}}L(x,y^{*})=\inf _{x\in X}F(x,0).}$

Si le problème primal est

${\displaystyle \inf _{x:g(x)\leq 0}f(x)=\inf _{x\in X}{\tilde {f}}(x)}$

avec${\displaystyle {\tilde {f}}(x)=f(x)+I_{\mathbb {R} _{+}^{d}}(-g(x))}$, alors si la perturbation est donnée par

${\displaystyle \inf _{x:g(x)\leq y}f(x)}$

alors la fonction de perturbation est

${\displaystyle F(x,y)=f(x)+I_{\mathbb {R} _{+}^{d}}(y-g(x)).}$

Ainsi la connexion à la dualité lagrangienne peut être vue, comme L peut être changée trivialement en

${\displaystyle L(x,y^{*})={\begin{cases}f(x)+y^{*}(g(x))&{\text{if }}y^{*}\in \mathbb {R} _{+}^{d},\\-\infty &{\text{else}}.\end{cases}}}$

Pour une fonction f convexe et fermée, on définit la transformée de Fenchel-Rockafellar ou Fenchel-Legendre ou polaire, la fonction

${\displaystyle f^{*}(x)=\sup \langle x,y\rangle -f(y)}$

Elle est bien une fonction de perturbation dans le sens où

${\displaystyle f^{*}(0)=-\inf f(x)}$

Soient ${\displaystyle (X,X^{*})}$ et ${\displaystyle (Y,Y^{*})}$ deux paires duales. On suppose qu'il existe une application linéaire ${\displaystyle T:X\to Y}$ avec pour opérateur adjoint ${\displaystyle T^{*}:Y^{*}\to X^{*}}$. On suppose que la fonction objectif primale${\displaystyle f(x)}$ (avec les contraintes sous forme de fonctions indicatrices) peut être écrites sous la forme ${\displaystyle f(x)=J(x,Tx)}$ de sorte que ${\displaystyle J:X\times Y\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$. Alors la fonction de perturbation est donnée par

${\displaystyle F(x,y)=J(x,Tx-y).}$

En particulier, si la fonction primale est ${\displaystyle f(x)+g(Tx)}$ alors la fonction de perturbation est donnée par ${\displaystyle F(x,y)=f(x)+g(Tx-y)}$, qui est la définition traditionnelle de la dualité de Fenchel[1].