Modèle de Hodgkin–Huxley

À l'aide d'une série d'expériences de voltage imposé et en faisant varier les concentrations extracellulaires de sodium et de potassium, Hodgkin et Huxley ont développé un modèle dans lequel les propriétés d'une cellule excitable sont décrites par un ensemble de quatre équations différentielles ordinaires[1]. Ce modèle est développé originellement pour l'axones de calmar qui ne contiennent que des canaux de sodium et potassium mais peut être étendu à d'autres axones possédant plus de canaux. Ainsi en plus l'équation du courant total donné ci-dessus, on a aussi :

${\displaystyle I_{\mathrm {Na} }(t)={\bar {g}}_{\mathrm {Na} }m(V_{m})^{3}h(V_{m})(V_{m}-E_{\mathrm {Na} })}$,

${\displaystyle {\frac {dn}{dt}}=\alpha _{n}(V_{m})(1-n)-\beta _{n}(V_{m})n}$

${\displaystyle {\frac {dm}{dt}}=\alpha _{m}(V_{m})(1-m)-\beta _{m}(V_{m})m}$

${\displaystyle {\frac {dh}{dt}}=\alpha _{h}(V_{m})(1-h)-\beta _{h}(V_{m})h}$

où I est le courant par unité de surface, et ${\displaystyle \alpha _{i}}$ et ${\displaystyle \beta _{i}}$ sont des constantes de vitesse pour le i- ième canal ionique, qui dépendent de la tension mais pas du temps. ${\displaystyle {\bar {g}}_{n}}$ est la valeur maximale de la conductance. n, m et h sont des quantités sans dimension entre 0 et 1 qui sont respectivement associées à l'activation des canaux potassiques, à l'activation des canaux sodiques et à l'inactivation des canaux sodiques. Pour ${\displaystyle p=(n,m,h)}$, ${\displaystyle \alpha _{p}}$ et ${\displaystyle \beta _{p}}$ prendre la forme :

${\displaystyle \alpha _{p}(V_{m})=p_{\infty }(V_{m})/\tau _{p}}$,

${\displaystyle \beta _{p}(V_{m})=(1-p_{\infty }(V_{m}))/\tau _{p}}$.

${\displaystyle p_{\infty }}$ et ${\displaystyle (1-p_{\infty })}$ sont les valeurs d'état stable pour l'activation et l'inactivation, respectivement, et sont généralement représentées par les équations de Boltzmann en tant que fonctions de ${\displaystyle V_{m}}$. Dans l'article original de Hodgkin et Huxley[1], les fonctions ${\displaystyle \alpha }$ et ${\displaystyle \beta }$ sont donnés par :

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\alpha _{n}(V_{m})={\frac {0.01(10+V)}{\exp {\big (}{\frac {10+V}{10}}{\big )}-1}}&\alpha _{m}(V_{m})={\frac {0.1(25+V)}{\exp {\big (}{\frac {25+V}{10}}{\big )}-1}}&\alpha _{h}(V_{m})=0.07\exp {\bigg (}{\frac {V}{20}}{\bigg )}\\\beta _{n}(V_{m})=0.125\exp {\bigg (}{\frac {V}{80}}{\bigg )}&\beta _{m}(V_{m})=4\exp {\bigg (}{\frac {V}{18}}{\bigg )}&\beta _{h}(V_{m})={\frac {1}{\exp {\big (}{\frac {30+V}{10}}{\big )}+1}}\end{array}}}$

où ${\displaystyle V=V_{rest}-V_{m}}$ désigne la dépolarisation négative en mV.

Alors que dans de nombreux logiciels actuels[2], les modèles de type Hodgkin-Huxley généralisent ${\displaystyle \alpha }$ et ${\displaystyle \beta }$ à :

${\displaystyle {\frac {A_{p}(V_{m}-B_{p})}{\exp {\big (}{\frac {V_{m}-B_{p}}{C_{p}}}{\big )}-D_{p}}}}$

Afin de caractériser les canaux voltage-dépendants, les équations sont ajustées aux données obtenu sous une tension d'entrée constante. Pour une dérivation des équations de Hodgkin-Huxley sous tension d'entrée constante, voir[3]. En bref, pour un potentiel membranaire maintenu à une valeur constante les équations de déclenchement non linéaires se réduisent aux équations de la forme :

${\displaystyle m(t)=m_{0}-[(m_{0}-m_{\infty })(1-e^{-t/\tau _{m}})]}$,

${\displaystyle h(t)=h_{0}-[(h_{0}-h_{\infty })(1-e^{-t/\tau _{h}})]}$,

${\displaystyle n(t)=n_{0}-[(n_{0}-n_{\infty })(1-e^{-t/\tau _{n}})]}$.

Ainsi, pour chaque valeur de potentiel de membrane ${\displaystyle V_{m}}$ les courants de sodium et de potassium peuvent être décrits par :

${\displaystyle I_{\mathrm {K} }(t)={\bar {g}}_{\mathrm {K} }n(V_{m})^{4}(V_{m}-E_{\mathrm {K} })}$.

Afin d'arriver à la solution complète pour un potentiel d'action propagé, on écrit le courant I du côté gauche de la première équation différentielle en fonction de V, de sorte que l'équation soit pour la tension seule. La relation entre I et V peut être dérivée de la théorie des câbles et est donnée par :

${\displaystyle I={\frac {a}{2R}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}}$,

où a est le rayon de l'axone, R est la résistance spécifique de l'axoplasme et x est la position le long de la fibre nerveuse.

L'algorithme de Levenberg-Marquardt est souvent utilisé pour ajuster ces équations aux données de voltage-clamp[4].

Les canaux de fuite tiennent compte de la perméabilité naturelle de la membrane aux ions et prennent la forme de l'équation des canaux voltage-dépendants, où la conductance ${\displaystyle g_{leak}}$ est une constante. Ainsi, le courant de fuite dû aux canaux ioniques de fuite passifs dans le formalisme de Hodgkin-Huxley est ${\displaystyle I_{l}=g_{leak}(V-V_{leak})}$.

Le potentiel membranaire dépend du maintien des gradients de concentration ionique à travers elle. Le maintien de ces gradients de concentration nécessite un transport actif d'espèces ioniques. Les échangeurs sodium-potassium et sodium-calcium sont les plus connus d'entre eux. Certaines des propriétés de base de l'échangeur Na/Ca sont déjà bien établies : la stoechiométrie d'échange est de 3 Na ⁺ : 1 Ca ²⁺ et l'échangeur est électrogène et sensible à la tension. L'échangeur Na/K a également été décrit en détail, avec une stoechiométrie 3 Na ⁺ : 2 K ⁺ [5] - [6].

Comme il existe quatre variables d'état, il peut être difficile de visualiser le chemin dans l'espace des phases. Habituellement, deux variables sont choisies, la tension ${\displaystyle V_{m}(t)}$ et la variable de contrôle du potassium ${\displaystyle n(t)}$, permettant de visualiser le cycle limite. Cependant, il faut être prudent car il s'agit d'une méthode ad hoc de visualisation du système à 4 dimensions. Cela ne prouve pas l'existence du cycle limite.

Une meilleure projection peut être construite à partir d'une analyse minutieuse du Jacobien du système, évalué au point d'équilibre. Plus précisément, les valeurs propres du Jacobien sont indicatives de l'existence de la variété centrale. De même, les vecteurs propres du Jacobien révèlent l'orientation de la variété centrale. Le modèle Hodgkin-Huxley a deux valeurs propres négatives et deux valeurs propres complexes avec des parties réelles légèrement positives. Les vecteurs propres associés aux deux valeurs propres négatives se réduiront à zéro à mesure que le temps t augmente. Les deux vecteurs propres complexes restants définissent la variété centrale. En d'autres termes, le système à 4 dimensions s'effondre sur un plan à 2 dimensions. Toute solution partant du collecteur central se désintégrera vers le collecteur central. De plus, le cycle limite est contenu sur le collecteur central.

La tension v (t) (en millivolts) du modèle Hodgkin-Huxley, représentée graphiquement sur 50 millisecondes. Le courant injecté varie de -5 nanoampères à 12 nanoampères. Le graphique passe par trois étapes : une étape d'équilibre, une étape à pic unique et une étape de cycle limite.

Si le courant injecté ${\displaystyle I}$ ont été utilisés comme paramètre de bifurcation, alors le modèle Hodgkin-Huxley subit une bifurcation de Hopf. Comme avec la plupart des modèles neuronaux, l'augmentation du courant injecté augmentera le taux de décharge du neurone. Une conséquence de la bifurcation de Hopf est qu'il y a une cadence de tir minimale. Cela signifie que soit le neurone ne se déclenche pas du tout (correspondant à une fréquence nulle), soit se déclenche à la vitesse de déclenchement minimale. En raison du principe tout ou rien, il n'y a pas d'augmentation régulière de l'amplitude du potentiel d'action, mais plutôt un "saut" soudain d'amplitude. La transition qui en résulte est connue sous le nom de canard.

• Potentiel d'action
• Modèles du neurone biologique

• A. L. Hodgkin et A. F. Huxley, « Currents carried by sodium and potassium ions through the membrane of the giant axon of Loligo », The Journal of Physiology, vol. 116, n^o 4,‎ 28 avril 1952, p. 449–472 (ISSN 0022-3751, PMID 14946713, PMCID 1392213, lire en ligne, consulté le 4 octobre 2021).
• A. L. Hodgkin et A. F. Huxley, « The components of membrane conductance in the giant axon of Loligo », The Journal of Physiology, vol. 116, n^o 4,‎ 28 avril 1952, p. 473–496 (ISSN 0022-3751, PMID 14946714, PMCID 1392209, lire en ligne, consulté le 4 octobre 2021).
• A. L. Hodgkin et A. F. Huxley, « The components of membrane conductance in the giant axon of Loligo », The Journal of Physiology, vol. 116, n^o 4,‎ 28 avril 1952, p. 473–496 (ISSN 0022-3751, PMID 14946714, PMCID 1392209, lire en ligne, consulté le 4 octobre 2021).
• A. L. Hodgkin et A. F. Huxley, « A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve », The Journal of Physiology, vol. 117, n^o 4,‎ 28 août 1952, p. 500–544 (ISSN 0022-3751, PMID 12991237, PMCID 1392413, lire en ligne, consulté le 4 octobre 2021).
• A. L. Hodgkin, A. F. Huxley et B. Katz, « Measurement of current-voltage relations in the membrane of the giant axon of Loligo », The Journal of Physiology, vol. 116, n^o 4,‎ 28 avril 1952, p. 424–448 (ISSN 0022-3751, PMID 14946712, PMCID 1392219, lire en ligne, consulté le 4 octobre 2021).

• Simulation Javascript interactive du modèle HH — Fonctionne dans n'importe quel navigateur compatible HTML5. Permet de modifier les paramètres du modèle et l'injection de courant.
• Applet Java interactif du modèle HH — Les paramètres du modèle peuvent être modifiés ainsi que les paramètres d'excitation et les tracés de l'espace des phases de toutes les variables sont possibles.
• Lien direct vers le modèle Hodgkin-Huxley et une description dans la base de données BioModels.
• Impulsions neuronales : le potentiel d'action en action par Garrett Neske, The Wolfram Demonstrations Project.
• Modèle interactif Hodgkin-Huxley par Shimon Marom, The Wolfram Demonstrations Project.
• ModelDB — Une base de données de code source en neurosciences computationnelles contenant 4 versions (dans différents simulateurs) du modèle Hodgkin-Huxley original et des centaines de modèles qui appliquent le modèle Hodgkin-Huxley à d'autres canaux dans de nombreux types de cellules électriquement excitables.
• Plusieurs articles sur la version stochastique du modèle et son lien avec l'original.