Bifurcation de Hopf

Espace des phases des Bifurcation de Hopf. 1: supercritique, 2: sous-critique.

Le cycle orbital (oscillant) est stable si la quantité spécifique appelée premier exposant de Lyapunov est négative (c'est-à-dire que toute petite déviation appliqué à un point du cycle limite décroit exponentiellement au premier ordre), et la bifurcation de Hopf est dite super-critique. Dans le cas contraire (premier exposant de Lyapunov nul ou positif), le cycle limite est instable et la bifurcation est dite sous-critique.

La forme canonique d'une bifurcation de Hopf est :

${\displaystyle {\frac {dz}{dt}}=z((\lambda +i)+b|z|^{2}),}$

Où z, b sont tous deux complexes et λ est un paramètre. Posons

${\displaystyle b=\alpha +i\beta .\,}$

Le nombre α est appelé le premier exposant de Lyapunov.

• Si α est negatif alors il existe un cycle limite stable pour λ > 0:

${\displaystyle z(t)=re^{i\omega t}\,}$

où

${\displaystyle r={\sqrt {-\lambda /\alpha }}{\text{ and }}\omega =1+\beta r^{2}.\,}$

La bifurcation est alors dite super-critique.

• Si α est positive alors le cycle limite est instable pour λ < 0. La bifurcation est dite sous-critique.

La « plus petite réaction chimique présentant une bifurcation de Hopf » fut observée en 1995 à Berlin, Allemagne[6]. Le même système biochimique a été utilisé pour étudier la façon dont une bifurcation de Hopf peut nous renseigner sur les dynamiques sous-jacentes d'un système[7].