Modèle d'Einstein

En physique statistique et en physique du solide, le modèle d’Einstein est un modèle permettant de décrire la contribution des vibrations du réseau à la capacité calorifique d’un solide cristallin. Il est basé sur les hypothèses suivantes :

chaque atome de la structure est un oscillateur harmonique quantique 3D,
les atomes vibrent à la même fréquence, contrairement au modèle de Debye.

Ce modèle est nommé d’après Albert Einstein, qui l'a proposé en 1907[1].

Énergie interne

Les vibrations du réseau cristallin sont quantifiées[2], c’est-à-dire que les énergies de chaque mode normal de vibration ne peuvent prendre que des valeurs discrètes $\hbar \omega _{E}$ . Ce modèle repose donc sur la dualité onde-particule des phonons et sur le fait que les 3N oscillateurs harmoniques[3] vibrent à la même fréquence, de manière isotrope.

L’énergie interne U du solide est donnée par la formule :

U={\frac {3N\hbar \omega _{E}}{e^{\beta \hbar \omega _{E}}-1}}

où ℏ est la constante de Planck réduite, ω_E est la pulsation d’un oscillateur, N le nombre d’atomes qui constituent le système et $\beta ={\frac {1}{k_{B}T}}$ où k_B est la constante de Boltzmann et T la température absolue.

Démonstration de la formule de l’énergie interne

L’énergie d’un oscillateur harmonique à une dimension vibrant à la fréquence $\hbar \omega _{E}$ est donnée par :

E_{n}=\hbar \omega _{E}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)(n\geq 0)

où $n$ est un nombre quantique

On calcule la fonction de partition d’un oscillateur harmonique quantique qui est donnée par la relation :

Z=\sum _{j}e^{-\beta E_{n}}=\sum _{j}e^{-\beta (n+{\frac {1}{2}})\hbar \omega _{E}}\;\;\left({\text{avec }}\beta ={\frac {1}{k_{B}T}}\right)

où k_B est la constante de Boltzmann, T la température absolue et j est un état de l’oscillateur. Il y a un seul état par niveau d’énergie ; la somme devient donc :

Z=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-\beta n\hbar \omega _{E}-\beta {\frac {1}{2}}\hbar \omega _{E}}=e^{-{\frac {\beta \hbar \omega _{E}}{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }(e^{-\beta \hbar \omega _{E}})^{n}

En appliquant la formule de la somme d’une suite géométrique, on simplifie la fonction de partition :

Z=e^{-{\frac {\beta \hbar \omega _{E}}{2}}}\cdot {\frac {1}{1-e^{-\beta \hbar \omega _{E}}}}

On obtient alors l’énergie d’un oscillateur :

{\bar {\epsilon }}=-{\frac {\partial \ln Z}{\partial \beta }}

avec $\ln Z=-{\frac {\beta \hbar \omega _{E}}{2}}-\ln(1-e^{-\beta \hbar \omega _{E}})$ ce qui donne

{\bar {\epsilon }}={\frac {\hbar \omega _{E}}{2}}+{\frac {\hbar \omega _{E}e^{-\beta \hbar \omega _{E}}}{1-e^{-\beta \hbar \omega _{E}}}}={\frac {\hbar \omega _{E}}{2}}+{\frac {\hbar \omega _{E}}{e^{\beta \hbar \omega _{E}}-1}}

On remarque au passage que $\lim _{T\to 0}{\bar {\epsilon }}=\lim _{\beta \to +\infty }{\bar {\epsilon }}={\frac {\hbar \omega _{E}}{2}}$ . Cette énergie correspond à l’énergie de point zéro pour ne pas violer le principe d’incertitude d’Heisenberg[4]. On ne tient pas compte de l’énergie de point zéro ce qui donne ${\bar {\epsilon }}={\frac {\hbar \omega _{E}}{e^{\beta \hbar \omega _{E}}-1}}$ L’énergie interne du système est alors : $U=3N{\bar {\epsilon }}={\frac {3N\hbar \omega _{E}}{e^{\beta \hbar \omega _{E}}-1}}$ [5]

Capacité calorifique

La capacité calorifique C_V est définie par :

c_{V}=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}

avec $\;U=3N{\bar {\epsilon }}={\frac {3N\hbar \omega _{E}}{e^{\beta \hbar \omega _{E}}-1}}\,$ , on obtient

c_{V}={\frac {3N\hbar ^{2}\omega _{E}^{2}}{k_{B}T^{2}}}\cdot {\frac {e^{\beta \hbar \omega _{E}}}{\left(e^{\beta \hbar \omega _{E}}-1\right)^{2}}}=(\beta \hbar \omega _{E})^{2}\cdot {\frac {3Nk_{B}e^{\beta \hbar \omega _{E}}}{\left(e^{\beta \hbar \omega _{E}}-1\right)^{2}}}

On peut définir la température d’Einstein comme $\Theta _{E}={\frac {\hbar \omega _{E}}{k_{B}}}$ . Tout cela nous donne $c_{V}\left(T\right)=3Nk_{B}\cdot \left({\frac {\Theta _{E}}{T}}\right)^{2}\cdot {\frac {\exp \left({\frac {\Theta _{E}}{T}}\right)}{\left[\exp \left({\frac {\Theta _{E}}{T}}\right)-1\right]^{2}}}$

Résultats du modèle

La capacité calorifique obtenue à l’aide du modèle d’Einstein est une fonction de la température. La valeur expérimentale de

3Nk

est retrouvée pour des températures élevées.

Le modèle d’Einstein retrouve la loi de Dulong et Petit, pour les hautes températures :

\lim _{T\to +\infty }c_{V}=3Nk_{B}

Cependant, à basse température, ce modèle concorde moins avec les mesures expérimentales que celui de Debye :

Lorsque ${\displaystyle T\rightarrow 0{\text{$

Cette discordance avec l’expérience peut s’expliquer en abandonnant l’hypothèse selon laquelle les oscillateurs harmoniques vibrent à la même fréquence.

Voir aussi

Bibliographie

Charles Kittel (trad. Nathalie Bardou, Évelyne Kolb), Physique de l’état solide [« Solid state physics »], 1998 [détail des éditions]
Bernard Diu, Claudine Guthmann, Danielle Lederer et Bernard Roulet, Éléments de physique statistique, 1996 [détail de l’édition]
C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloë, Mécanique quantique [détail de l’édition]

Notes et références

(de) Albert Einstein, « Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme », Annalen der Physik, vol. 22,‎ 1907, p. 180 (lire en ligne)
Cette quantification est due aux conditions aux limites imposées au solide.
On modélise les N atomes qui constituent le solide par 3N oscillateurs harmoniques quantiques à une dimension.
À 0 K, tous les oscillateurs sont dans un même état (n=0). Si tous les états atomes étaient au repos, leur position et leur vitesse seraient bien déterminées ( ${\vec {r}}={\vec {0}}$ et ${\vec {p}}={\vec {0}}$ ) ce qui serait en contradiction avec le principe d’incertitude d’Heisenberg.
L’énergie interne est égale au nombre d’oscillateur multipliée par l’énergie d’un seul oscillateur.

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