Microréversibilité

Dans le cas où le lagrangien est un polynôme du second degré des vitesses seulement alors ${\displaystyle \textstyle L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})=L(\mathbf {q} ,-{\dot {\mathbf {q} }})}$ où q représente la position. Un système de particules isolées sans spin possède cette propriété qui est préservée même en présence d'un champ statique externe. Dans ce dernier cas l'hamiltonien du système s'écrit :

${\displaystyle H(\mathbf {r} ,\mathbf {p} )={\frac {p^{2}}{2m}}+V(\mathbf {r} )=H(\mathbf {r} ,-\mathbf {p} )}$

La solution du système par renversement du temps (indice R) vérifie :

${\displaystyle \mathbf {r} _{R}(t)=\mathbf {r} (-t)\,,\quad \mathbf {p} _{R}(t)=-\mathbf {p} (-t)}$.

En mécanique quantique ce même système est décrit par l'équation de Schrödinger :

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (\mathbf {r} ,t)=H\psi (\mathbf {r} ,t)\,,\quad H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta +V(\mathbf {r} )}$

En changeant t en -t et en prenant le complexe conjugué ${\displaystyle \textstyle \psi ^{*}}$ de la fonction d'onde ${\displaystyle \textstyle \psi }$ on obtient :

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi ^{*}(\mathbf {r} ,-t)=H\psi ^{*}(\mathbf {r} ,-t)}$

En comparant ces équations on voit que :

${\displaystyle \psi ^{*}(\mathbf {r} ,-t)=\psi (\mathbf {r} ,t)}$

La densité de probabilité de la position ${\displaystyle \textstyle P(\mathbf {r} ,t)}$ et de l'impulsion ${\displaystyle \textstyle \Pi (\mathbf {r} ,t)}$ sont telles que :

${\displaystyle P_{R}(\mathbf {r} ,t)=P(\mathbf {r} ,-t)\,,\quad \Pi _{R}(\mathbf {p} ,t)=\Pi (-\mathbf {p} ,-t)}$

Si on note ${\displaystyle \textstyle K}$ l'opérateur anti-unitaire d'inversion temporelle et ${\displaystyle \textstyle K^{\dagger }}$ son adjoint alors :

${\displaystyle K\mathbf {r} K^{\dagger }=r\,,\quad K\mathbf {p} K^{\dagger }=-p}$

Parmi ces opérateurs on choisit l'opérateur de conjugaison complexe défini par :

${\displaystyle K\psi (\mathbf {r} ,t)=\psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)}$.

Alors, si ${\displaystyle \textstyle |\psi (t)\rangle }$ est un état solution de l'équation de Schrödinger on voit que ${\displaystyle \textstyle |\psi (t)\rangle _{R}=K|\psi (-t)\rangle }$ l'est également. Ceci exprime la propriété de réversibilité de la solution.