Moment linéaire

En mécanique analytique, le moment conjugué ${\displaystyle p_{i}}$ (aussi appelé impulsion généralisée) de la coordonnée généralisée ${\displaystyle q_{i}}$ est donné par la formule[1] :

$${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}}$$

Ce moment conjugué est appelé moment linéaire (ou impulsion) lorsque les coordonnées généralisées ${\displaystyle q_{i}}$ correspondent aux coordonnées cartésiennes.

En représentation position, l'opérateur impulsion peut être mis sous la forme ${\displaystyle {\hat {\vec {P}}}=-i\hbar {\vec {\nabla }}}$ où ${\displaystyle {\vec {\nabla }}}$ est l'opérateur gradient et ${\displaystyle \hbar }$ est la constante de Planck réduite.

L'opérateur impulsion ${\displaystyle {\hat {\vec {P}}}}$ peut être défini de cette manière à partir de l'opérateur position ${\displaystyle {\hat {\vec {R}}}}$ et des relations de commutation canoniques[2] :

$${\displaystyle {\begin{cases}\left[{\hat {R}}_{j},{\hat {P}}_{k}\right]=i\hbar \delta _{jk}{\hat {1}}\\\left[{\hat {P}}_{j},{\hat {P}}_{k}\right]=0\\\left[{\hat {R}}_{j},{\hat {R}}_{k}\right]=0\end{cases}}j,k=x,~y,~z}$$

Le principe de correspondance consiste à identifier les crochets de Poisson {q_j, p_k} = δ_jk en mécanique hamiltonienne aux commutateurs ${\displaystyle \left[{\hat {R}}_{j},{\hat {P}}_{k}\right]=i\hbar \delta _{jk}{\hat {1}}}$ en mécanique quantique.

Intuitivement, le commutateur de deux observable permet de quantifier à quel point les grandeurs associées sont mesurables simultanément. Les relations de commutation canoniques impliquent que les commutateurs ${\displaystyle \left[{\hat {R}}_{j},{\hat {P}}_{j}\right]=i\hbar {\hat {1}}}$, où ${\displaystyle \textstyle {\hat {1}}}$ est l'opérateur identité, ne sont pas nuls[alpha 1], et donc que les grandeurs associées ne peuvent pas être déterminées simultanément avec une précision arbitraire. C'est ce qu'on appelle le principe d'indétermination de Heisenberg, formalisé par les inégalités de Heisenberg[3] :

$${\displaystyle \sigma _{R_{j}}\sigma _{P_{j}}\geqslant {\frac {\hbar }{2}}}$$

Où ${\displaystyle \sigma _{R_{j}}}$ et ${\displaystyle \sigma _{P_{j}}}$ sont respectivement l'écart-type sur la position et l'écart-type sur l'impulsion.

La principale conséquence du principe d'indétermination est qu'en mécanique quantique on ne peut pas associer une trajectoire bien définie à une particule. Cependant, il existe des interprétations alternatives de la mécanique quantique qui permettent de définir de telles trajectoires en proposant une autre définition de l'opérateur impulsion. Ces théories — dont la théorie de de Broglie-Bohm fait partie — sont très peu connues et déconsidérées par les physiciens.

C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloë, Mécanique quantique [détail de l’édition]

• Quantité de mouvement
• Moment cinétique