Méthode de Bézout

Considérons une équation de degré n :

${\displaystyle \qquad a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0}$

Soit r une racine n-ième primaire de l'unité.

Nous savons que les n racines n-ièmes de l'unité 1, r, r²,…, r^n-1 vérifient la relation :

${\displaystyle \qquad 1+r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}=0}$

La méthode de Bézout consiste à rechercher les racines de l'équation étudiée sous forme de combinaisons linéaires des racines n-ièmes de l'unité.

${\displaystyle \qquad x=b_{0}+b_{1}r+b_{2}r^{2}+\cdots +b_{n-1}r^{n-1}}$

Pour cela, on commence par éliminer r entre les deux relations : ${\displaystyle \qquad 1+r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}=0}$ ${\displaystyle \qquad x=b_{0}+b_{1}r+b_{2}r^{2}+\cdots +b_{n-1}r^{n-1}}$

Ce qui nous donne une équation de degré n en x dont les coefficients sont des expressions dépendant de b₀, b₁, b₂,...,b_n-1. En identifiant les coefficients de cette équation avec les coefficients correspondant de l'équation à résoudre, on obtient un système d'équations d'inconnues b₀, b₁, b₂,...,b_n qui après résolution et report des différentes solutions dans :

${\displaystyle \qquad x=b_{0}+b_{1}r+b_{2}r^{2}+\cdots +b_{n-1}r^{n-1}}$

nous donnera les solutions de l'équation que l'on s'était donné à résoudre.

Nous allons exposer la méthode sur l'exemple suivant : ${\displaystyle 6x^{3}-6x^{2}+12x+7=0~}$

Posons : ${\displaystyle \mathrm {j} =\mathrm {e} ^{\frac {2\mathrm {i} \pi }{3}}~}$

j est l'une des racines cubiques de l'unité et vérifie donc :

${\displaystyle \mathrm {j} ^{3}=1~}$

Recherchons les racines sous la forme :

${\displaystyle x=a+b\mathrm {j} +c\mathrm {j} ^{2}\qquad (*)~}$

Nous allons éliminer j entre les deux dernières équations.

Les deux dernières équations se mettent sous la forme : ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\mathrm {j} ^{3}=1\\x-a-b\mathrm {j} =c\mathrm {j} ^{2}\end{matrix}}\right.}$

En faisant des produits membre à membre successifs et en remplaçant chaque fois celle des deux équations dont le degré par rapport à j est le plus élevé par le résultat, nous allons baisser progressivement le degré des équations par rapport à j jusqu'à ce que j disparaisse de l'une des équations.

Un premier produit membre à membre nous donne : ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}b\mathrm {j} ^{2}=\mathrm {j} x-a\mathrm {j} -c\\x-a-b\mathrm {j} =c\mathrm {j} ^{2}\end{matrix}}\right.}$

Un deuxième produit membre à membre nous donne : ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}c\mathrm {j} x-ac\mathrm {j} +b^{2}\mathrm {j} =bx+c^{2}-ab\\x-a-b\mathrm {j} =c\mathrm {j} ^{2}\end{matrix}}\right.}$

Un troisième produit membre à membre nous donne : ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}c\mathrm {j} x-ac\mathrm {j} +b^{2}\mathrm {j} =bx+c^{2}-ab\\ab^{2}-a^{2}c-b^{2}x+2acx-cx^{2}=2abc\mathrm {j} -b^{3}\mathrm {j} -c^{3}\mathrm {j} -2bc\mathrm {j} x\end{matrix}}\right.}$

Un dernier produit membre à membre permet d'éliminer j et nous fournit l'équation : ${\displaystyle x^{3}-3ax^{2}+(3a^{2}-3bc)x+3abc-a^{3}-b^{3}-c^{3}=0~}$

En identifiant les coefficients de cette équation avec les coefficients de l'équation que nous devons résoudre, nous obtenons : ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}-3a=-1\\3a^{2}-3bc=2\\3abc-a^{3}-b^{3}-c^{3}={\frac {7}{6}}\end{matrix}}\right.}$

De la première équation nous en déduisons la valeur de a que l'on reporte dans les autres équations, on obtient : ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}a={\frac {1}{3}}\\bc=-{\frac {5}{9}}\\bc-b^{3}-c^{3}={\frac {65}{54}}\end{matrix}}\right.}$

Mémorisons la valeur de a et portons le produit bc dans la troisième équation, nous obtenons : ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}bc=-{\frac {5}{9}}\\b^{3}+c^{3}=-{\frac {95}{54}}\end{matrix}}\right.}$

En élevant au cube les deux membres de la première équation, on obtient : ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}b^{3}c^{3}=-{\frac {125}{729}}\\b^{3}+c^{3}=-{\frac {95}{54}}\end{matrix}}\right.~}$

b³ et c³ sont donc les racines de l'équation : ${\displaystyle X^{2}+{\frac {95}{54}}X-{\frac {125}{729}}=0~}$

Les deux racines de cette équation sont : ${\displaystyle b^{3}={\frac {5}{54}},\,c^{3}=-{\frac {50}{27}}~}$

Les trois couples (b,c) vérifiant : ${\displaystyle bc=-{\frac {5}{9}}~}$

sont donc : ${\displaystyle b_{1}={\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {5}{2}}}\quad {\text{et}}\quad c_{1}=-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{50}}}$ ; ${\displaystyle b_{2}={\frac {\mathrm {j} }{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {5}{2}}}\quad {\text{et}}\quad c_{2}=-{\frac {\mathrm {j} ^{2}}{3}}{\sqrt[{3}]{50}}}$ ; ${\displaystyle b_{3}={\frac {\mathrm {j} ^{2}}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {5}{2}}}\quad {\text{et}}\quad c_{3}=-{\frac {\mathrm {j} }{3}}{\sqrt[{3}]{50}}}$.

En reportant dans ${\displaystyle (*)}$ les valeurs de ${\displaystyle a,b,c}$ trouvées, on obtient ${\displaystyle x_{1}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {5}{2}}}\mathrm {j} -{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{50}}\mathrm {j} ^{2}}$, ${\displaystyle x_{2}={\frac {1}{3}}+{\frac {\mathrm {j} }{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {5}{2}}}\mathrm {j} -{\frac {\mathrm {j} ^{2}}{3}}{\sqrt[{3}]{50}}\mathrm {j} ^{2}}$ et ${\displaystyle x_{3}={\frac {1}{3}}+{\frac {\mathrm {j} ^{2}}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {5}{2}}}j-{\frac {j}{3}}{\sqrt[{3}]{50}}\mathrm {j} ^{2}}$,

ce qui, après simplification, donne ${\displaystyle x_{1}={\frac {1}{3}}\left(1+\mathrm {j} {\sqrt[{3}]{\frac {5}{2}}}-\mathrm {j} ^{2}{\sqrt[{3}]{50}}\right)}$, ${\displaystyle x_{2}={\frac {1}{3}}\left(1+\mathrm {j} ^{2}{\sqrt[{3}]{\frac {5}{2}}}-\mathrm {j} {\sqrt[{3}]{50}}\right)}$ et ${\displaystyle x_{3}={\frac {1}{3}}\left(1+{\sqrt[{3}]{\frac {5}{2}}}-{\sqrt[{3}]{50}}\right)}$,

qui sont les trois racines de l'équation que l'on devait résoudre.

• Méthode de Tschirnhaus
• Méthode de Cardan
• Méthode de Ferrari
• Méthode de Descartes
• Méthode d'Hermite

Texte de Bézout (1764) sur la résolution des équations algébriques, en ligne et commenté sur Bibnum