Soit
, posons pour tout
on a par hypothèse que
, donc on peut poser
tel que ![{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,n\geq n_{0}\Rightarrow \left|{\frac {c_{n}}{n}}-d(A)\right|\leq \epsilon .}](https://img.franco.wiki/i/4af24b4dc744689a4441a43caae772e3da13e831.svg)
On écrit alors ![{\displaystyle \mathbb {P} _{s}(X\in A)={\frac {\sum _{a\in A}{\frac {1}{a^{s}}}}{\zeta (s)}}={\frac {\sum _{\underset {a<n_{0}}{a\in A}}{\frac {1}{a^{s}}}+\sum _{\underset {a\geq n_{0}}{a\in A}}{\frac {1}{a^{s}}}}{\zeta (s)}}}](https://img.franco.wiki/i/fefe4c0a9497021d9dedcbb5a43ccb026a768039.svg)
On s'intéresse au terme
, on a :
car la variable muette a est supérieure à ![{\displaystyle n_{0}.}](https://img.franco.wiki/i/ab6b058a79ed47b62d4c82481aacf5bb454b0876.svg)
Sans nuire à la généralité, supposons A infini (le cas A fini est trivial), écrivons alors
. Il s'ensuit alors que pour
. posons alors ![{\displaystyle n_{1}=\operatorname {min} (\{m\in \mathbb {N} ,a_{m}\geq n_{0}\}).}](https://img.franco.wiki/i/2c215dfae8d5a26ad07c123bde4e2f54b9536c2a.svg)
On a donc
, d'où ![{\displaystyle \mathbb {P} _{s}(X\in A)\leq {\frac {\sum _{\underset {a<n_{0}}{a\in A}}{\frac {1}{a^{s}}}}{\zeta (s)}}+(d(A)+\epsilon )^{s}\left(1-{\frac {\sum _{m=1}^{n_{1}-1}{\frac {1}{m^{s}}}}{\zeta (s)}}\right){\underset {s\rightarrow 1^{+}}{\longrightarrow }}d(A)+\epsilon }](https://img.franco.wiki/i/150bc44517d12a726521d50010728abc8407b2f7.svg)
On fait alors de même à gauche et on trouve pour s assez proche de 1 que
, ainsi :![{\displaystyle \mathbb {P} _{s}(X\in A){\underset {s\rightarrow 1^{+}}{\longrightarrow }}d(A)}](https://img.franco.wiki/i/b21a3379e9d8357d6d79d9e20857fad3ab1a8118.svg)