Loi demi-logistique

En théorie des probabilités et en statistique, la loi demi-logistique est une loi de probabilité continue de la valeur absolue d'une variable aléatoire de loi logistique. Si Y est une variable aléatoire de loi logistique, alors

X=|Y|\!

Loi demi-logistique
Densité de probabilité


Fonction de répartition

Paramètres	$\mu \in \mathbb {R}$ $\sigma >0$
Support	${\displaystyle x\in ]\mu$
Densité de probabilité	${\frac {2\exp({\frac {x-\mu }{\sigma }})}{\sigma \left(1+\exp({\frac {x-\mu }{\sigma }})\right)^{2}}}$
Fonction de répartition	${\frac {\exp({\frac {x-\mu }{\sigma }})-1}{\exp({\frac {x-\mu }{\sigma }})+1}}$
Espérance	$\log _{e}(4)$ (cas centré réduit)
Médiane	$\log _{e}(3)$ (cas centré réduit)
Mode	$\mu$
Variance	$\pi ^{2}/3-(\log _{e}(4))^{2}$ (cas centré réduit)

est de loi demi-logistique. Cette loi dépend alors des deux mêmes paramètres que la loi logistique : $\scriptstyle \mu \in \mathbb {R}$ et $\scriptstyle \sigma >0$ , représentée par la notation : $X\sim {\frac {1}{2}}\log(\mu ,\sigma )$ .

Caractéristique

Densité de probabiltié

La densité de probabilité de la loi demi-logistique est donnée par :

f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {2\exp({\frac {x-\mu }{\sigma }})}{\sigma \left(1+\exp({\frac {x-\mu }{\sigma }})\right)^{2}}}&{\text{ si }}x>\mu \\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}

Dans le cas centré réduit, c'est-à-dire $\mu =0$ et $\sigma =1$ , la densité de probabilité s'écrit :

f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {2e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}

Fonction de répartition

La fonction de répartition de la loi demi-logistique est:

F_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {\exp({\frac {x-\mu }{\sigma }})-1}{\exp({\frac {x-\mu }{\sigma }})+1}}&{\text{ si }}x>\mu \\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}

et pour le cas centré réduit :

F_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {e^{x}-1}{e^{x}+1}}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}

En particulier, $\scriptstyle F_{X}(x)=2f_{X}(x)-1$ .

Liens avec d'autres lois

$\ln \left({\frac {e^{X}+1}{e^{X}-1}}\right)\sim {\frac {1}{2}}\log(0,1)$ si et seulement si $X\sim {\mathcal {E}}(1)$ (loi exponentielle).
$\ln \left(X-1\right)\sim {\frac {1}{2}}\log(0,1)$ si et seulement si $X\sim \operatorname {Pareto} (1,2)$ (Distribution de Pareto).
Si $X\sim U(0,1)$ (loi uniforme continue), alors $\ln \left({\frac {2-X}{X}}\right)\sim {\frac {1}{2}}\log(0,1)$ .

Références

(en) Olusengun George, Meenakshi Devidas, Handbook of the Logistic Distribution, New York, Marcel Dekker, Inc., 1992, 232–234 p. (ISBN 0-8247-8587-8), « Some Related Distributions »

(en) A.K. Olapade, « On Characterizations of the Half-Logistic Distribution », InterStat,, n^o 2,‎ février 2003 (lire en ligne)

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