Loi de réciprocité d'Artin

On se place ici dans le cas où ${\displaystyle K}$ est un corps global et ${\displaystyle L}$ une extension abélienne finie de ${\displaystyle K}$. Soit ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ un élément premier de ${\displaystyle K}$, alors les groupes de décomposition au dessus de ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ sont égaux dans ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$, puisque ce dernier est abélien. Si ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ est non ramifié dans ${\displaystyle L}$, et si on note ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ un premier au-dessus de ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$, alors le groupe de décomposition ${\displaystyle D_{\mathfrak {p}}}$ est isomorphe au groupe de Galois de l'extension ${\displaystyle ({\mathcal {O}}_{L,{\mathfrak {q}}}/{\mathfrak {q}})/({\mathcal {O}}_{K,{\mathfrak {p}}}/{\mathfrak {p}})}$ de corps résiduels. Cet isomorphisme est en fait canonique, et il existe donc un élément de Frobenius dans le groupe de Galois, qui est noté

$${\displaystyle \left({\frac {L/K}{\mathfrak {p}}}\right)}$$

pour rappeler la notation du symbole de Jacobi, et appelé « symbole d'Artin »[2]. On étend cette notation par linéarité à tous les idéaux fractionnaires :

$${\displaystyle {\prod _{i=1}^{m}{\mathfrak {p}}_{i}^{n_{i}}}\mapsto \prod _{i=1}^{m}\left({\frac {L/K}{{\mathfrak {p}}_{i}}}\right)^{n_{i}}.}$$

La loi de réciprocité d'Artin établit qu'il existe un isomorphisme, donné par l'application définie par ce symbole, entre un quotient du groupe des idéaux fractionnaires et le groupe de Galois ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$.

Une manière compacte d'exprimer la réciprocité d'Artin est la suivante[3] - [4] : étant donné ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ et ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ au-dessus de ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$, non ramifié, il existe un unique élément ${\displaystyle \sigma =\left({\frac {L/K}{\mathfrak {q}}}\right)\in \operatorname {Gal} (L/K)}$ tel que pour tout ${\displaystyle \alpha \in L}$,

$${\displaystyle \sigma (\alpha )=\alpha ^{\operatorname {N} ({\mathfrak {p}})}{\bmod {\mathfrak {\mathfrak {q}}}}.}$$

Nous suivons ici la présentation de Neukirch[5] : soit ${\displaystyle K}$ un corps global et ${\displaystyle L}$ une extension de ${\displaystyle K}$, on dénote par ${\displaystyle C_{L}}$ de groupe de classes d'idèles de ${\displaystyle L}$, et de même ${\displaystyle C_{K}}$ désigne le groupe de classes d'idèles de ${\displaystyle K}$. Alors la loi de réciprocité d'Artin établit qu'il existe un isomorphisme canonique

$${\displaystyle \theta :C_{K}/\operatorname {N} _{L/K}(C_{L})\ {\xrightarrow {\ \sim \ }}\operatorname {Gal} (L/K)^{\text{ab}}}$$

entre un quotient du groupe d'idèles de ${\displaystyle K}$ et l'abélianisé du groupe de Galois de ${\displaystyle L}$ sur ${\displaystyle K}$. L'application ${\displaystyle \theta }$ est appelé « symbole d'Artin global ». La construction de ${\displaystyle \theta }$ est explicite, à partir des « symboles (locaux) d'Artin » définis pour chaque place ${\displaystyle v}$ de ${\displaystyle K}$, et qui forment également des isomorphismes

$${\displaystyle \theta _{v}:K_{v}^{\times }/\operatorname {N} _{L_{v}/K_{v}}(L_{v}^{\times })\ {\xrightarrow {\ \sim \ }}\operatorname {Gal} (L_{v}/K_{v})^{\text{ab}}.}$$