Logique floue

Prenons l'exemple de la vitesse d'un véhicule sur une route où la vitesse normale est de 90 km/h. La vitesse est considérée élevée au-dessus de 100 km/h et réglementaire en dessous de 80 km/h. On souhaite caractériser la vitesse du véhicule en répondant par exemple à la question « La vitesse est-elle élevée ? ».

fig. 1

Dans ce modèle de réglementation routière, en logique booléenne, la réponse à la question s'énonce de la manière suivante (voir fig. 1) :

• La vitesse est élevée à 100 % au-dessus de 100 km/h et à 0 % en dessous.

En logique floue, on autorise différents degrés d'énoncés de réponse à la question « La vitesse est-elle élevée ? » (voir fig. 2) :

• La vitesse est réglementaire en dessous de 80 km/h. On peut donc dire qu'en dessous de 80 km/h, la vitesse est élevée avec un taux de confiance de 0 %.

fig. 2

• La vitesse est élevée au-dessus de 100 km/h. La vitesse est non réglementaire avec un taux de confiance de 100 % au-dessus de 100 km/h.
• Aux stades intermédiaires, on considère que la vitesse est non réglementaire à 50 % de confiance à 90 km/h et à 25 % de confiance à 85 km/h.

De même, on peut définir une fonction correspondant à la question « La vitesse est-elle peu élevée ? » de la manière suivante (voir fig. 3) :

• La vitesse est peu élevée en dessous de 80 km/h. Elle est donc peu élevée à 100 %.

fig. 3

• La vitesse est considérée comme pas du tout peu élevée au-dessus de 100 km/h. Elle est donc peu élevée à 0 %.
• La vitesse est donc peu élevée à 50 % à 90 km/h, et à 25 % à 95 km/h.

On peut aussi définir une fonction correspondant à la question « La vitesse est-elle moyenne ? » (voir fig. 4) :

• La vitesse est moyenne à 90 km/h. À cette allure, la vitesse est moyenne à 100 %.

fig. 4

• La vitesse n'est pas du tout moyenne en dessous de 80 km/h et au-dessus de 100 km/h. Hors de cet intervalle, la vitesse est moyenne à 0 %.
• La vitesse est donc moyenne à 50 % à 85 km/h et 95 km/h.

Il n'est pas obligatoire que la transition soit linéaire. Des transitions hyperboliques (comme une sigmoïde ou une tangente hyperbolique), exponentielle, gaussienne (dans le cas d'un état moyen) ou de toute autre nature sont utilisables (voir fig. 5).

fig. 5

Le degré de vérité d'une relation floue entre deux ou t objets est le degré d'appartenance de la paire ou du t-uple à l'ensemble flou associé à la relation.

Soit la relation est1 (est-un/est-une). Pour dire que toute chaise est un meuble et que 30 % des meubles sont des chaises, on accordera un degré de vérité de 1 à est1(chaise, meuble) et un degré 0,3 à est1(meuble, chaise).

La connaissance topographique qu'un agent possède d'un monde clos pourra s'appuyer sur l'attribution de degrés de vérité à une relation du style x est_plus_près_de y que_de z, construite et/ou affinée par apprentissage.

De façon générale, les relations floues permettront de coder des connaissances graduées, empiriques ou typiques, acquises directement ou par des heuristiques, des inductions...

En définissant les opérateurs logiques de base de la façon suivante[8]:

${\displaystyle ET:=min;OU:=max;NON(x):=1-x}$

il devient possible de représenter toutes les opérations logiques de base en logique floue :

Opérateur	Abréviation	Application
OU	OR	A OU B ${\displaystyle =max(A,B)}$[[9]]
ET		A ET B ${\displaystyle =min(A,B)}$
NON		NON A ${\displaystyle =1-A}$
OU Exclusif	OUEX	A OUEX B ${\displaystyle =max(A,B)-min(A,B)}$
NI	NON-OU	A NI B ${\displaystyle =1-max(A,B)}$
ON	NON-ET	A ON B ${\displaystyle =1-min(A,B)}$
EQV	NON-OUEX	A EQV B ${\displaystyle =1+min(A,B)-max(A,B)}$
REPETEUR	REP	REP A ${\displaystyle =A}$

Propriétés et limitations

Ce système conserve de nombreuses propriétés booléennes, mais pas la non contradiction :

si ${\displaystyle A}$ a pour degré de vérité ${\displaystyle v}$, ${\displaystyle NON(A)}$ a pour degré de vérité ${\displaystyle 1-v}$ et leur conjonction ${\displaystyle min(v,1-v)}$, à valeur dans ${\displaystyle [0,0.5]}$...

Par ailleurs, la dimension numérique des variables de la logique floue permet d'utiliser d'autres opérations :

• Le produit : A × B pour ET (ce qui fait perdre l'idempotence : A ET A devient alors une interprétation de très A);
• La composition : A + B - A × B pour OU (la simple addition dépasserait les bornes de l'intervalle [0 1] dans certains cas)[10].
• En conservant NON(v)=1-v, on garde encore de nombreuses propriétés logiques.

Pour combattre certains problèmes d'inférence, on peut vouloir un opérateur ET plus dur, associant à l'opération A ET B, le degré ${\displaystyle max(A+B-1,0)}$.

Dans un tel cas, OU et NON doivent être choisis de façon à conserver ou non certaines propriétés, par exemple pour sécuriser les raisonnements.

On trouvera dans la Théorie des Possibilités (op. cit.) les relations entre axiomes logiques souhaités et équations fonctionnelles que doivent respecter les opérateurs correspondants.

On peut même changer l'espace de vérité, en préférant par exemple [-1 +1] pour certaines propriétés bipolaires.

Une Orchidée jacinthe

Cet exemple montre comment combiner des opérateurs flous de divers types à travers le problème « confirmer l'appartenance d'une personne à un groupe » :

Énoncé

Une personne sera plus ou moins membre (à un niveau fzMembre, compris entre 0 et 1, inclusivement) d'un groupe, disons les flower lovers, soit si, pour n'importe quelle raison, elle en fait déjà plus ou moins partie (à un niveau fzDejaMembre),

soit si elle a une assez bonne connaissance des orchidées (fzConnaitOrchidees)

et que la connaissance des orchidées

est un critère assez déterminant (fzOrchideesAmis) d'appartenance au groupe des flower lovers.

fzMembre = Zadeh_OR(fzDejaMembre, Multiply_AND(fzConnaitOrchidees, fzOrchideesAmis))

• 
  Zadeh OR
• 
  Multiply AND
  (Paraboloïde hyperbolique)

Implémentation

fzMembre = max(fzDejaMembre, (fzConnaitOrchidees * fzOrchideesAmis))

pour fzDejaMembre=0 (faux), fzConnaitOrchidees=0.778 et fzOrchideesAmis=0.9, on trouve 0.7
pour fzDejaMembre=0.7, fzConnaitOrchidees=0.8 et fzOrchideesAmis=0.9, on trouve 0.72
pour fzDejaMembre=0.72, fzConnaitOrchidees=0.8 et fzOrchideesAmis=0.9, on retrouve 0.72
pour fzDejaMembre=0.72, fzConnaitOrchidees=0.5 et fzOrchideesAmis=0.9, on conserve 0.72
(ce qui est le résultat vraisemblablement attendu)

Une solution qui n'utiliserait que les opérateurs de Zadeh serait :

fzMembre = Zadeh_OR(fzDejaMembre, Zadeh_AND(fzConnaitOrchidees, fzOrchideesAmis))

• 
  Zadeh OR
• 
  Zadeh AND

Implémentation

fzMembre = max(fzDejaMembre, min(fzConnaitOrchidees, fzOrchideesAmis))

pour fzDejaMembre=0 (faux), fzConnaitOrchidees=0.778 et fzOrchideesAmis=1 (vrai), on trouve 0.778
pour fzDejaMembre=0 (faux), fzConnaitOrchidees=0.778 et fzOrchideesAmis=0.9, on trouve aussi 0.778
(ce qui est trop élevé)
pour fzDejaMembre=0.778, fzConnaitOrchidees=0.8 et fzOrchideesAmis=0.9, on trouve 0.8
pour fzDejaMembre=0.8, fzConnaitOrchidees=0.8 et fzOrchideesAmis=0.9, on retrouve 0.8
pour fzDejaMembre=0.8, fzConnaitOrchidees=0.5 et fzOrchideesAmis=0.9, on conserve 0.8
(ce qui est stable mais trop élevé)

Une solution qui n'utiliserait que les opérateurs représentables par des paraboloïdes hyperboliques serait :

fzMembre = Add_OR(fzDejaMembre, Multiply_AND(fzConnaitOrchidees, fzOrchideesAmis))

• 
  Add OR
  (Paraboloïde hyperbolique)
• 
  Multiply AND
  (Paraboloïde hyperbolique)

Implémentation

fzMembre = fzDejaMembre + (fzConnaitOrchidees*fzOrchideesAmis) - (fzDejaMembre*fzConnaitOrchidees*fzOrchideesAmis)

pour fzDejaMembre=0 (faux), fzConnaitOrchidees=0.778 et fzOrchideesAmis=0.9, on trouve 0.7
pour fzDejaMembre=0.7, fzConnaitOrchidees=0.8 et fzOrchideesAmis=0.9, on trouve 0.916
(ce qui est sûrement trop élevé)
pour fzDejaMembre=0.916, fzConnaitOrchidees=0.8 et fzOrchideesAmis=0.9, on trouve 0,97648
(ce qui est instable et sûrement beaucoup trop élevé)
pour fzDejaMembre=0,97648, fzConnaitOrchidees=0.5 et fzOrchideesAmis=0.9, on trouve 0. 987 064
(une augmentation bien malvenue)

Les trois méthodes exposées ci-dessus convergent lorsque les valeurs d'entrée sont booléennes :

pour fzDejaMembre=0 (faux), fzConnaitOrchidees=0 (faux) et fzOrchideesAmis=1 (vrai), on trouve 0 (faux)
pour fzDejaMembre=0 (faux), fzConnaitOrchidees=1 (vrai) et fzOrchideesAmis=1 (vrai), on trouve 1 (vrai)
pour fzDejaMembre=1 (vrai), fzConnaitOrchidees=1 (vrai) et fzOrchideesAmis=1 (vrai), on retrouve 1 (vrai)
pour fzDejaMembre=1 (vrai), fzConnaitOrchidees=0 (faux) et fzOrchideesAmis=1 (vrai), on conserve 1 (vrai)

Pour l'exemple à l'orchidée ci-dessus, une situation normale est que la connaissance des orchidées implique l'appartenance au groupe. C’est-à-dire, plus précisément, qu'on ne peut pas connaître les orchidées et, simultanément, ne pas être membre du groupe des amis des fleurs.

fzImpliqueOk = NOT(AND(fzConnaitOrchidees, NOT(fzMembre)))

De même qu'on a vu ci-dessus plusieurs manières d'implémenter les opérateurs OR et AND, il y a aussi plusieurs manières d'implémenter la notion d'implication.

fzImpliqueOk = Bool_IMPLIES(fzConnaitOrchidees, fzMembre)
fzImpliqueOk = Zadeh_IMPLIES(fzConnaitOrchidees, fzMembre)
fzImpliqueOk = HypPar_IMPLIES(fzConnaitOrchidees, fzMembre)

• 
  Boolean IMPLIES
• 
  Zadeh IMPLIES
• 
  Hyperbolic Paraboloid
  IMPLIES

Les opérateurs ci-dessus s'implémenteront respectivement comme ceci :

fzImpliqueOk = fzConnaitOrchidees ⇐ fzMembre 
fzImpliqueOk = 1 - min(fzConnaitOrchidees, (1 - fzMembre))
fzImpliqueOk = 1 - fzConnaitOrchidees + (fzConnaitOrchidees*fzMembre)

• dans un cas extrême mais normal, avec fzConnaitOrchidees=0.8 et fzMembre=0.995, les valeurs trouvées seront respectivement :

 1 (true)
 0.995 (Zadeh)
 0.996 (Hyperbolic Paraboloid)

• dans un cas considéré comme normal, avec fzConnaitOrchidees=0.8 et fzMembre=0.72, les valeurs trouvées seront respectivement :

 0 (false) (la personne est moins membre qu'elle ne connait)
 0.72 (Zadeh)
 0.776 (Hyperbolic Paraboloid)

• dans un autre cas qui reste normal, la personne pouvant aussi être membre des amis des fleurs à cause de son amour des tulipes, avec fzConnaitOrchidees=0.66 et fzMembre=0.72, les valeurs trouvées seront respectivement :

 1 (true)(la personne est plus membre qu'elle ne connait)
 0.72 (Zadeh)
 0.772 (Hyperbolic Paraboloid)

• dans un cas assez douteux, avec fzConnaitOrchidees=0.5 et fzMembre=0.5, les valeurs trouvées seront respectivement :

 1 (true) 
 0.5 (Zadeh)
 0.75 (Hyperbolic Paraboloid)

• dans un cas anormal, avec fzConnaitOrchidees=0.8 et fzMembre=0.3, les valeurs trouvées seront respectivement :

 0 (false)
 0.3 (Zadeh)
 0.44 (Hyperbolic Paraboloid)

• dans un cas anormal et extrême, avec fzConnaitOrchidees=0.8 et fzMembre=0.005, les valeurs trouvées seront respectivement :

 0 (false)
 0.2 (Zadeh)
 0.204 (Hyperbolic Paraboloid)

Une application informatique qui viserait à proposer à un opérateur humain de traiter les cas anormaux en commençant par les plus suspects utiliserait les valeurs indiquées ci-dessus en gras et obtenues par la méthode identifiée Hyperbolic Paraboloid, particulièrement discriminante.

Il n'est pas sûr que cette application intéresse les amis des fleurs. Par contre, l'intérêt pour un service de médecine préventive (ou même pour un fleuriste) est compréhensible. Lorsque le nombre d'examens des cas suspects doit être plafonné (par exemple pour des raisons de temps, de coût, de dangerosité, etc), un pré-classement intelligent fondé sinon sur une théorie incontestée, du moins sur une technologie opérationnelle, peut s'avérer utile.

L'article commons:Fuzzy operator fournit de nombreuses représentations graphiques de quelques implémentations possibles des opérateurs fuzzy. On trouvera ci-dessous, à titre d'exemple, la représentation de huit implémentations différentes d'une opération qui viserait à apprécier la simultanéité de deux faits (jugés de poids équivalents dans les six images à gauche mais de poids différents dans les deux images de droite).

• 
  zadeh-AND
• 
  multiply-AND
• 
  yager-AND
• 
  mm-WEIGHT-OR-AND

• 
  zadeh-OR
• 
  add-OR
• 
  yager-OR
• 
  mm-WEIGHT-AND-OR

Soit v(x est chaud) = 0,8. On pourra poser v(x est très chaud) = 0,8² = 0,64 et a contrario v(x est assez chaud)= rac2(0,8) = 0,89, ce qui facilite le codage des connaissances empiriques.

Il existe une opinion qui dit que « La théorie des ensembles flous présente la particularité de n'avoir aucun théorème à proposer. C'est-à-dire que si elle peut rendre quelques services techniques, elle ne peut pour autant prétendre à un quelconque statut de science, et encore moins de théorie ».

En fait, la logique floue a été formalisée et un théorème (élémentaire, cependant) montre que dans le cas particulier où les propositions traitées ne sont pas floues, la logique floue se réduit à la logique classique.

Dans son ouvrage Décisions rationnelles dans l'incertain, Myron Tribus rappelle que le théorème de Cox-Jaynes montre d'une part que l'on peut représenter un état de connaissance incertaine par une probabilité, et d'autre part que tout moyen utilisé pour prendre des décisions sera soit isomorphe à la théorie des probabilités, soit incohérent. Les connaissances floues ne sont pas à proprement parler des connaissances incertaines : on peut par exemple savoir avec précision qu'un homme mesure 1,74 m. Néanmoins, ce qui est flou est de savoir s'il sera considéré comme « grand » ou « petit ».

A contrario, dire : « l'âge de cette personne est voisin de 30 ans » représente une estimation floue de l'âge effectif de la personne, qui est pour sa part très précis. L'imprécision concerne l'estimation elle-même et non l'âge réel.

On pourrait dire aussi : « l'âge de cette personne est entre 27 et 33 ans, avec une probabilité de 0.8 ». Là encore, la probabilité mesure un état de connaissance de l'observateur et non une caractéristique de ce qui est observé.

Jim Bezdek distingue pour sa part probabilité et imprécision : « On se trouve dans un désert, après des jours d'errance… Presque mort de soif, on trouve alors deux bouteilles remplies d'un liquide. Sur la bouteille A, une étiquette annonce « Potable avec un degré de 0,9 », et sur la bouteille B, l'étiquette dit « potable avec une probabilité de 0,9 ». Laquelle de ces deux bouteilles doit-on choisir ? ». Si l'on traduit les indications des étiquettes, on en retire qu'en buvant la bouteille A, on pourra s'en tirer avec comme seuls risques, quelques problèmes intestinaux non mortels… Par contre, en buvant la bouteille B, il y a une probabilité non négligeable (10 % de chance) que le liquide puisse être très nocif (acide…) et absolument pas buvable.

Une théorie des possibilités a été introduite (aussi par Lotfi Zadeh en 1978) afin de permettre la prise en compte combinée à la fois de l'imprécision et de l'incertitude dans des connaissances.

La logique modale a été introduite par Aristote, puis continuée par Leibniz et des chercheurs contemporains pour prendre en compte des affaiblissements ou des renforcements d'affirmations présents dans les langues naturelles, en s'intéressant par exemple aux rapports du vrai, du faux, du nécessaire et du possible.

La théorie de la complexité algorithmique (ou complexité de Kolmogorov) est aussi une méthode plus ou moins rigoureuse pour envisager la difficulté de donner la description précise d'une chose (X peut apparaître plus complexe que Y pour une machine A et moins complexe que Y pour une machine B, par exemple un calculateur quantique. Il s'agit donc d'une complexité relative à une machine de référence donnée.

Enfin, les probabilités bayésiennes utilisées en avenir incertain utilisent des approches voisines de celles de la logique floue, mais cette fois-ci sans aucun arbitraire : les distributions de probabilité a priori doivent y être celle d'entropie maximale…

• Godjevac J., Idées nettes sur la logique floue, PPUR : Lausanne, collection informatique, 1999, 128p., (ISBN 2-88074-378-8).
• Prade H., Dubois D. & al., Théorie des possibilités : Applications à la représentation des connaissances en informatique, coll. (Méthode + programmes), Masson : Paris, 1985.

• Ensemble flou
• Notion à contenu variable
• Arithmétique floue
• Information partielle linéaire
• Théorie du prototype (sémantique cognitive)
• Logique plurivalente
• Ebrahim Mamdani