Arithmétique floue

Cette section rappelle brièvement la notion de sous-ensemble flou (fuzzy set en anglais) et leurs propriétés pertinentes dans le cadre de l'arithmétique floue.

Considérons tout d'abord un ensemble infini indénombrable ${\displaystyle \Omega }$, représentant l'ensemble dans lequel nous allons définir des sous-ensembles flous. Dans le cas de la vitesse évoquée ci-dessus, l'ensemble ${\displaystyle \Omega }$ représentant le domaine des vitesses en km/h, se réduit à l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {R} }$ des valeurs réelles.

Un sous-ensemble flou ${\displaystyle {\tilde {E}}}$[1] sur ${\displaystyle \Omega }$ (représentant par exemple les vitesses dites « élevées ») est défini par sa fonction d'appartenance (ou fonction caractéristique) ${\displaystyle \mu$ :\Omega \to [0,1]} . Pour une vitesse donnée, v, ${\displaystyle \mu _{\tilde {E}}(v)}$ représente alors le degré d'appartenance de v à ${\displaystyle {\tilde {E}}}$.

Figure 1. Fonctions d'appartenance d'un sous-ensemble flou et d'un ensemble classique équivalent.

La figure 1 ci-contre illustre la notion de fonction d'appartenance. La courbe verte montre l'évolution du degré d'appartenance : plus la vitesse augmente, plus elle est considérée comme élevée. Cette fonction d'appartenance caractérise donc le sous-ensemble flou des vitesses dite « élevées ». Par opposition, la courbe rouge illustre une fonction d'appartenance qui caractérise un ensemble « classique » équivalent, impliquant un seuil strict (ici, 50 km/h).

Il est important de noter que la fonction d'appartenance ${\displaystyle \mu }$, associée à un ensemble flou, n'est pas une densité de probabilité. En dehors d'aspects purement mathématiques[2], une valeur floue reflète le degré avec lequel un évènement se produit (degré de vérité), alors qu'une probabilité reflète le pourcentage de chances que l’évènement se produise (éventualité).

Figure 2. Éléments caractéristiques d'un ensemble flou : noyau, support, hauteur et coupe-α.

Un ensemble flou ${\displaystyle {\tilde {E}}}$ considéré sur l'univers ${\displaystyle \Omega }$ se caractérise par les éléments suivants illustrés sur la figure 2 :

• son noyau (core en anglais), qui représente l'ensemble des éléments de ${\displaystyle \Omega }$ pour lesquels le degré d'appartenance est égal à 1. Plus formellement, on définit le noyau ${\displaystyle n({\tilde {E}})}$ par : ${\displaystyle n({\tilde {E}})=\{x\in \Omega \,|\,\mu _{\tilde {E}}(x)=1\}}$.
• son support (support en anglais), qui représente le sous-ensemble des éléments de ${\displaystyle \Omega }$ pour lesquels le degré d'appartenance à ${\displaystyle {\tilde {E}}}$ est non nul. Plus formellement, on définit le support ${\displaystyle sp({\tilde {E}})}$ par : ${\displaystyle sp({\tilde {E}})=\{x\in \Omega \,|\,\mu _{\tilde {E}}(x)>0\}}$.
• sa hauteur (height en anglais), qui représente le degré maximal d'appartenance à ${\displaystyle {\tilde {E}}}$. Formellement, la hauteur ${\displaystyle h({\tilde {E}})}$ est définie par :

${\displaystyle h({\tilde {E}})=\max _{x\in \Omega }\left(\mu _{\tilde {E}}(x)\right)}$.

On définit également la notion de coupe α (α-cut en anglais) comme l'ensemble des éléments de ${\displaystyle \Omega }$ pour lesquels le degré d'appartenance à ${\displaystyle {\tilde {E}}}$ est supérieur ou égal à ${\displaystyle \alpha }$. Plus formellement, on écrira : ${\displaystyle coupe_{\alpha }({\tilde {E}})=\left\{x\in \Omega \,|\,\mu _{\tilde {E}}(x)\geq \alpha \right\}}$.

La figure 2 ci-contre illustre la notion de coupe-α pour un ensemble flou trapézoïdal.

L'idée de nombre flou (en) (fuzzy number en anglais) est d'utiliser un ensemble flou pour représenter une construction linguistique telle que : « x est autour de 15 ». Les nombres flous permettent de capturer l'incertitude autour d'une valeur donnée : intuitivement, plus on s'éloigne de la valeur 15, plus l'appartenance à l'ensemble flou correspondant diminue.

Figure 3. Trois ensembles flous qui ne peuvent pas être considérés comme des nombres flous: N₁ n'est pas convexe, N₂ n'est pas normalisé, N₃ est un intervalle.

Un nombre flou ${\displaystyle {\tilde {N}}}$ est un ensemble flou respectant les quatre propriétés suivantes :

• Il est normal, c'est-à-dire que sa hauteur est égale à 1. Plus formellement on écrira : ${\displaystyle h({\tilde {N}})=1}$. Sur la figure 3, seuls les nombres ${\displaystyle {\tilde {N}}_{1}}$ et ${\displaystyle {\tilde {N}}_{3}}$ sont normalisés.
• Son noyau est unique, c'est-à-dire qu'il n'existe qu'un seul élément de l'univers pour lequel le degré d'appartenance est égal à 1. Formellement, on écrira : ${\displaystyle |n({\tilde {N}})|=1}$. Cet élément unique est le mode de ${\displaystyle {\tilde {N}}}$ et est parfois dénoté par le symbole ${\displaystyle {\bar {n}}}$. Sur la figure 3 par exemple, le noyau de l'ensemble flou ${\displaystyle {\tilde {N}}_{1}}$ est unique alors que celui de ${\displaystyle {\tilde {N}}_{3}}$ ne l'est pas.
• Il est convexe, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de coupe-alpha disjointe. Formellement la convexité d'un ensemble flou ${\displaystyle {\tilde {N}}}$ vérifie que : ${\displaystyle \forall \alpha \in [0,1],\forall (u,v)\in coupe_{\alpha }({\tilde {N}}),\forall \lambda \in [0,1],\lambda u+(1-\lambda )v\in coupe_{\alpha }({\tilde {N}})}$. Sur la figure 3 par exemple, l'ensemble flou ${\displaystyle {\tilde {N}}_{1}}$ n'est pas convexe, car il existe des coupes alpha qui sont discontinues, alors que ${\displaystyle {\tilde {N}}_{2}}$ et ${\displaystyle {\tilde {N}}_{3}}$ le sont.
• Sa fonction d'appartenance, ${\displaystyle \mu _{\tilde {N}}}$, est continue.

Intuitivement, ajouter, soustraire, multiplier ou diviser deux nombres flous nécessite de calculer la fonction d'appartenance associée au résultat (un autre nombre flou). À titre d'exemple, on s'intéresse ici à l'expression arithmétique ${\displaystyle {\tilde {C}}={\tilde {A}}+{\tilde {B}}}$ où ${\displaystyle {\tilde {A}}}$ et ${\displaystyle {\tilde {B}}}$ sont deux nombres flous, dont les fonctions d'appartenances sont illustrées sur la figure 4 ci-contre. Leurs fonctions d'appartenance sont respectivement définies par :

• ${\displaystyle \mu _{\tilde {A}}=\{4\mapsto 0,~5\mapsto {\frac {1}{3}},~6\mapsto {\frac {2}{3}},~7\mapsto 1,~8\mapsto 0\}}$
• ${\displaystyle \mu _{\tilde {B}}=\{10\mapsto 0,~11\mapsto {\frac {1}{3}},~12\mapsto {\frac {2}{3}},~13\mapsto 1,~14\mapsto {\frac {1}{2}},~15\mapsto 0\}}$

Figure 4. Addition de deux nombres flous définis sur ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Pour calculer le degré d'appartenance de 18 à l'ensemble flou ${\displaystyle {\tilde {C}}}$, il est nécessaire de construire tous les couples de valeurs ${\displaystyle (a,b)}$ tels que ${\displaystyle a\in {\tilde {A}}}$, ${\displaystyle b\in {\tilde {B}}}$ et où ${\displaystyle a+b=18}$. En effet, cinq couples voient leur somme égale à 18 et tous peuvent donc être à l'origine de ce résultat. De manière logique, on peut donc écrire :
${\displaystyle {\begin{array}{r|c|l}\mu _{{\tilde {A}}+{\tilde {B}}}(18)&=&(a=4\land b=14)\lor (a=5\land b=13)\\&&\lor (a=6\land b=12)\lor (a=7\land b=11)\\&&\lor (a=8\land b=10)\end{array}}}$

En appliquant la sémantique des opérateurs standards de la logique floue[3], on obtient :
${\displaystyle {\begin{array}{r|c|l}\mu _{{\tilde {A}}+{\tilde {B}}}(18)&=&\max {\big (}\min(\mu _{\tilde {A}}(4),\mu _{\tilde {B}}(14)),\min(\mu _{\tilde {A}}(5),\mu _{\tilde {B}}(13)),\\&&\min(\mu _{\tilde {A}}(6),\mu _{\tilde {B}}(12)),\min(\mu _{\tilde {A}}(7),\mu _{\tilde {B}}(11)),\\&&\min(\mu _{\tilde {A}}(8),\mu _{\tilde {B}}(10)){\big )}\\\mu _{{\tilde {A}}+{\tilde {B}}}(18)&=&\max {\big (}\min(0,{\frac {1}{2}}),\min({\frac {1}{3}},1),\\&&\min({\frac {2}{3}},{\frac {2}{3}}),\min(1,{\frac {1}{3}}),\\&&\min(0,0){\big )}\\\mu _{{\tilde {A}}+{\tilde {B}}}(18)&=&\max \left(0,{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},{\frac {1}{3}},0\right)={\frac {2}{3}}\\\end{array}}}$

Figure 5. Convolution min-max pas-à-pas: ${\displaystyle \mu _{{\tilde {A}}+{\tilde {B}}}(20)=1}$.

Le tableau de la figure 5 ci-contre résume le calcul pas-à-pas de la fonction d'appartenance de ${\displaystyle {\tilde {C}}}$.

Dans le cas général, la fonction d'appartenance qui caractérise le résultat d'une opération ${\displaystyle \star }$ définie par ${\displaystyle \star$ :\Omega ^{n}\to \Omega } et appliquée à ${\displaystyle n}$ nombres flous ${\displaystyle {\tilde {N_{1}}},\ldots ,{\tilde {N}}_{n}}$ est définie par le produit de convolution max-min tel que : ${\displaystyle {\begin{array}{r|c|l}\mu _{\star ({\tilde {N}}_{1},\ldots ,{\tilde {N}}_{n})}(c)&=&\bigvee _{\star (n_{1},\ldots ,n_{n})=c}\left(\bigwedge _{i=1}^{n}\left(n_{i}\in {\tilde {N}}_{i}\right)\right)\\&=&\max _{\star (n_{1},\ldots ,n_{n})=c}\left(\min _{i=1}^{n}\left(\mu _{{\tilde {N}}_{i}}(n_{i})\right)\right)\end{array}}}$

Il s'agit en fait d'appliquer le principe d'extension de la logique floue, qui permet de calculer le degré d'appartenance d'une relation portant sur des ensembles flous. Bien que cette définition ne permette pas déduire analytiquement l'équation exacte des fonctions d'appartenance résultant d'opérations arithmétiques, elle pose cependant les bases nécessaires à la mise en œuvre de l'arithmétique floue (voir la section sur les arithmétiques floues concrètes et notamment le paragraphe concernant l'utilisation de nombres flous décomposés qui est considérée comme la mise en œuvre standard).

Le tableau ci-dessous résume les principales propriétés des opérations de base de l'arithmétique floue. L'arithmétique floue est en fait une généralisation de l'arithmétique des intervalles (voir arithmétique de nombres flous décomposés).

Contrairement à l'arithmétique sur les réels, la soustraction définie par l'arithmétique floue n'est pas l'inverse de l'addition, de même que la division n'est pas l'opération inverse de la multiplication.

La figure 6 ci-contre illustre la différence entre l'opération inverse de l'addition et la soustraction : ${\displaystyle {\tilde {C}}}$ est la somme des nombres ${\displaystyle {\tilde {A}}}$ et ${\displaystyle {\tilde {B}}}$. On peut voir que l'opération ${\displaystyle {\tilde {C}}-{\tilde {B}}}$ génère un quatrième nombre flou (${\displaystyle {\tilde {D}}}$) différent de ${\displaystyle {\tilde {A}}}$. Si ${\displaystyle {\tilde {A}}}$ et ${\displaystyle {\tilde {D}}}$ partage le même mode, l'incertitude autour de ${\displaystyle {\tilde {D}}}$ est beaucoup plus large. Dans le cadre de l'arithmétique floue, la soustraction et l'opération inverse de l'addition ne répondent pas à la même question:

• la soustraction exprime l'incertitude autour du résultat de l'opération ${\displaystyle {\tilde {C}}-{\tilde {B}}}$ (${\displaystyle {\tilde {D}}}$ sur la figure 6).
• l'opération inverse de l'addition exprime l'incertitude maximale qui, ajoutée à celle de ${\displaystyle {\tilde {B}}}$, produit le nombre ${\displaystyle {\tilde {C}}}$ (Le nombre ${\displaystyle {\tilde {A}}}$ sur la figure 6).

Les nombres flous "gauche/droite", (GD en abrégé ou LR en anglais), ont été l'une des premières implémentations proposées des nombres flous, due notamment à Dubois et Prade. L'idée est de représenter un nombre flou par son support et par son noyau, ainsi que par la forme générale de sa fonction d'appartenance, sous la forme d'un triplet (g, n, d) où g et d représentent respectivement les bornes gauche et droite de la fonction d'appartenance, et où n représente son noyau. Il en résulte différentes familles de nombres flous GD, dont les principales forment les nombres flous triangulaires (nft), gaussiens (nfg), exponentiels (nfe), et quadratiques (nfq), illustrés sur la figure X ci-contre.

L'arithmétique des nombres flous gauches droites se résume alors à application directe des opérations arithmétiques sur les supports et les noyaux, en considérant que les différents familles de nombres flous incompatibles entre elles. La figure 8 illustre l'addition de deux nombres flous triangulaires, A = nft(3, 6, 7) et B = nft(1, 2, 4), qui aboutit au nombre flou C = nft(4, 8, 11).

La principale limitation des nombres flous G/D est leur imprécision. Ils sont avant tout une approximation, certes très rapide à calculer, mais l'erreur induite alors s'amplifie très rapidement, à mesure que les opérations s'enchaînent.

Figure 7. Discrétisation d'un nombre flou: création de 11 échantillons.

Dans le cas général, la convolution max-min n'a pas de solution analytique, et il est alors nécessaire de se ramener à un espace discret pour pouvoir l'appliquer comme nous l'avons fait sur ${\displaystyle \mathbb {N} }$. L'idée est de réduire la fonction d'appartenance à un nombre limité d'échantillons : plus on conserve d'échantillons, plus l'approximation correspondante est fidèle à la fonction d'appartenance initiale. La figure 7 ci-contre, illustre l'échantillonnage d'un nombre flou.

La principale limite de l'échantillonnage est qu'il ne permet pas de capturer systématiquement le noyau des ensembles flous, et aboutit parfois à des approximations non normalisées. Sur la figure 7 par exemple, le noyau n'est pas échantillonné, et l'approximation correspondante ne satisfait donc pas les propriétés de base des ensembles flous. De plus, du point de vue technique, les techniques de calcul associées sont coûteuses en ressources pour des univers de grande taille, échantillonnés avec une fréquence élevée.

L'idée des nombres flous décomposés est de représenter un nombre flou par l'ensemble de ses coupes-α. Pour mémoire, chaque coupe-α représente l'intervalle des valeurs dont le degré d'appartenance est supérieur ou égal à α. L'arithmétique floue se réduit alors à l'arithmétique des intervalles appliquée à différents degrés d'appartenance.

Figure 8. Décomposition d'un nombre flou en une séquence de 5 coupes-α.

Tout comme un nombre flou discrétisé, un nombre flou décomposé est une représentation discrète de sa fonction d'appartenance. La différence repose sur le choix des échantillons conservés: un nombre flou discrétisé est obtenu en échantillonnant l'univers ${\displaystyle \Omega }$ alors qu'un nombre flou décomposé est obtenu en échantillonnant le domaine des degrés d'appartenance ${\displaystyle [0,1]}$. Étant donné un facteur de décomposition ${\displaystyle m}$, on divise donc l'intervalle [0,1] en ${\displaystyle m}$ parties de longueur ${\displaystyle \Delta _{\mu }={\frac {1}{m}}}$, et on représente ${\displaystyle {\tilde {N}}}$ par l'ensemble de ses coupes-α ${\displaystyle coupe_{k}({\tilde {N}})}$ où ${\displaystyle k=i\times \Delta _{\mu }}$ (pour ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,m\}}$. La figure 8 ci-contre illustre une décomposition en un ensemble de 5 coupes-α. Par opposition à la discrétisation illustrée précédemment sur la figure 7, la décomposition offre l'avantage de capturer systématiquement le noyau des ensembles flous, assurant une représentation cohérente, même pour les singletons.

En représentant les coupes-α correspondantes sous la forme d'intervalles, l'arithmétique floue se réduit à l'arithmétique des intervalles. Par conséquent, pour un degré d'appartenance donné α, la coupe-α caractérisant le résultat d'une opération arithmétique sur ${\displaystyle {\tilde {A}}}$ et ${\displaystyle {\tilde {B}}}$ se calcule en appliquant cette même opération sur les intervalles représentant les coupes-α de A et de B. Plus formellement, pour tout ${\displaystyle {\tilde {C}}={\tilde {A}}\star {\tilde {B}}}$ et pour tout ${\displaystyle k\in {1,\ldots ,m}}$, on a : ${\displaystyle {\begin{array}{r c l}coupe_{k\times \Delta _{\mu }}({\tilde {C}})&=&coupe_{k\times \Delta _{\mu }}({\tilde {A}})\star coupe_{k\times \Delta _{\mu }}({\tilde {B}})\\&=&[a,a]\star [b,b]\end{array}}}$

• Incertitude
• Calcul d'incertitude
• Arithmétique
• Arithmétique des intervalles
• Ensemble flou
• Logique floue
• Théorie des possibilités

• (en) Michael Hanss, Applied Fuzzy Arithmetic : An Introduction with Engineering Applications, Berlin, Springer-Verlag, 2005, 256 p. (ISBN 978-3-540-24201-7).
• (en) Arnold Kaufman et Madan M. Gupta, An Introduction to Fuzzy Arithmetic : Theory and Applications, New York, Van Nostrand Reinhold Company Inc., 1991, 394 p. (ISBN 0-442-23007-9). 
• (en) George J. Klir et Tina A. Folger, Fuzzy Sets, Uncertainty and Information, Singapour, Prentice Hall Inc. (Simon & Schuster Pte Ltd), 1992, 355 p. (ISBN 978-981-30-2697-1).
• (en) Timothy J. Ross, Fuzzy Logic with Engineering Applications, John Wiley & Sons, Ltd., 2004, 2^e éd., 652 p. (ISBN 978-0-470-86075-5).
• (en) Lofti A. Zadeh, « Fuzzy Sets », Information and Control, vol. 8, n^o 3,‎ juin 1965, p. 338-353
• (en) Lofti A. Zadeh, « The Concept of Linguistic Variable and its Applications to Approximate Reasoning », Information Science, vol. 8,‎ 1975, p. 199-249
• (en) Didier Dubois et Henri Prade, « Fuzzy Real Algebra: Some Results », Fuzzy Sets and Systems, vol. 2,‎ 1979, p. 327-348
• (en) Ronald R. Yager, « A characterization of the extension principle », Fuzzy Sets and Systems, vol. 18,‎ 1986, p. 205–217