Liste de critères de divisibilité

Un nombre est divisible par 2ⁿ si et seulement si ses n derniers chiffres forment un nombre divisible par 2ⁿ.

Exemples

Un nombre est divisible par 16 = 2⁴ si et seulement si le nombre formé par ses 4 derniers chiffres est divisible par 16.

Un nombre est divisible par 32 = 2⁵ si et seulement si le nombre formé par ses 5 derniers chiffres est divisible par 32.

Application : 87 753 216 864 est divisible par 32 car 16 864 est divisible par 32.

Un nombre est divisible par 5ⁿ si et seulement si ses n derniers chiffres forment un nombre divisible par 5ⁿ.

Exemples

Un nombre est divisible par 25 = 5² si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 25, c'est-à-dire si son écriture « se termine » par 00, 25, 50 ou 75.

Application : 258 975 est divisible par 25 car il se termine par 75.

257 543 625 est divisible par 5³ = 125 car 625 est divisible par 125.

Pour n non nul, un nombre est divisible par 10ⁿ si et seulement si ses n derniers chiffres sont égaux à 0.

Exemple

652 500 000 est divisible par 10⁵ car ses 5 derniers chiffres sont des 0.

652 50 est divisible par 10¹ car son dernier chiffre est un 0.

Première méthode : Un nombre est divisible par 7 si et seulement si la somme de son nombre de dizaines et de cinq fois son chiffre des unités l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 56 (= 7 × 8). Le nombre est divisible par 7 si et seulement si le résultat final l'est.

Exemple

17 381 est divisible par 7 car

1738 + 5 × 1 = 1743,

174 + 5 × 3 = 189,

18 + 5 × 9 = 63 et

6 + 5 × 3 = 21 = 7 × 3.

Deuxième méthode : Un nombre est divisible par 7 si et seulement si la différence entre son nombre de dizaines et le double de son chiffre des unités l'est. Si cette différence est négative, on peut la remplacer par sa valeur absolue. En répétant cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 14, le nombre de départ est divisible par 7 si et seulement si le résultat final est 0 ou 7.

Exemple

17 381 est divisible par 7 car

1738 – 2 × 1 = 1736,

173 – 2 × 6 = 161,

16 – 2 × 1 = 14 et

|1 – 2 × 4| = 7.

Une méthode, basée seulement sur le fait que 10³ est congru à –1 modulo 7, est de séparer ce nombre par tranches de 3 chiffres en partant des unités et d'insérer alternativement des – et des + entre les tranches. On effectue l'opération ainsi écrite et ce résultat est divisible par 7 si et seulement si le nombre de départ l'était.

Exemple

Soit le nombre 5 527 579 818 992.

On le sépare par tranches de trois chiffres à partir des unités :

5 | 527 | 579 | 818 | 992.

On intercale alternativement des – et des + :

5 – 527 + 579 – 818 + 992.

On effectue l'opération ainsi écrite :

5 – 527 + 579 – 818 + 992 = 231.

On regarde si 231 est divisible à l'aide du lemme de divisibilité par 7 :

23 + 5 × 1 = 28 est divisible par 7 donc 5 527 579 818 992 l'est.

Comme 1001 est le produit de 7, 11 et 13, la même méthode s'applique pour 11 et 13.

Cette méthode est basée sur le fait que 10³ est congru à –1 modulo 7, dont on déduit que

${\displaystyle {\rm {si}}\quad x=100^{m}b_{m}+\ldots +100^{2}b_{2}+100b_{1}+b_{0}\quad {\rm {et}}\quad y=10^{m}b_{0}-10^{m-1}b_{1}+10^{m-2}b_{2}\ldots +(-1)^{m}b_{m}}$

${\displaystyle {\rm {alors}}\quad 10^{m}x\equiv y{\pmod {7}}}$

donc x est divisible par 7 si et seulement si y l'est. On peut bien sûr remplacer au passage chaque b_i par n'importe quel entier qui lui est congru modulo 7. Le principe[1] est donc de découper le nombre x par tranches de 2 chiffres et chercher la distance entre chaque nombre de 2 chiffres et le multiple de 7 le plus proche (alternativement par excès et par défaut).

Exemple

Soit le nombre 5 527 579 818 992.

On le sépare par tranches de deux chiffres à partir des unités :

5|52|75|79|81|89|92.

• À partir de la droite, le multiple de 7 le plus proche par défaut est 91 : distance 92 – 91 = 1.
• Pour la deuxième paire, le multiple de 7 le plus proche par excès est 91 : distance 91 – 89 = 2.
• Pour la troisième paire, le multiple de 7 le plus proche par défaut est 77 : distance 81 – 77 = 4
• Pour la quatrième paire, distance : 84 – 79 = 5, etc.

Le nombre de départ est multiple de 7 si et seulement si

1|2|4|5|5|4|5

est multiple de 7 (les différents « restes » sont écrits dans l'ordre inverse).

On trouve de même que la divisibilité par 7 de 1 245 545 équivaut à celle de 3 136, puis de 14, donc 5 527 579 818 992 est divisible par 7.

Comme dans le calcul du nombre modulo 7 par la méthode de Toja, on va regrouper les chiffres par groupe de 2, en partant de la droite. Ici on va utiliser le fait que 100 vaut 2 modulo 7.

La première étape, valable d'ailleurs pour toutes les méthodes, consiste à remplacer tous les chiffres par leur valeur modulo 7. Autrement dit à remplacer le 7 par 0, le 8 par 1, le 9 par 2.

Soit le nombre 5 527 579 818 992.

On le remplace par 5 520 502 111 222.

Dans la deuxième étape on regroupe les chiffres par 2 pour créer des nombres de 0 à 66.

5|52|05|02|11|12|22.

On les calcule modulo 7

5|3|5|2|4|5|1.

C'est l'écriture du nombre base 2, avec des chiffres de 0 à 6. On va utiliser la méthode de Horner : on dépile le chiffre le plus à gauche que l'on ajoute au nombre en cours (0 au départ) et on multiplie par 2.

${\displaystyle 5\cdot 2+3\rightarrow 3+3\rightarrow 6}$

${\displaystyle 6\cdot 2+5\rightarrow 5+5\rightarrow 10\rightarrow 3}$

${\displaystyle 3\cdot 2+2\rightarrow 8\rightarrow 1}$

${\displaystyle 1\cdot 2+4\rightarrow 6}$

${\displaystyle 6\cdot 2+5\rightarrow 5+5\rightarrow 10\rightarrow 3}$

${\displaystyle 3\cdot 2+1\rightarrow 7\rightarrow 0}$

Chaque ligne de calcul se fait aisément de tête, et chaque résultat intermédiaire peut être inscrit sur une seconde ligne :

5|3|5|2|4|5|1

5|6|3|1|6|3|0

On obtient 0, le nombre est divisible par 7.

Cette technique[2] s'appuie sur l'écriture du nombre en base 10 et sur les congruences modulo 7. L'utilisation d'un diagramme est proposée en 2009 par David Wilson[3] - [4]. Sur un cercle, on dispose tous les nombres de 0 à 6, c'est-à-dire tous les restes possibles modulo 7. On relie ensuite par une flèche chaque reste r avec le reste modulo 7 de r ×10.

Le diagramme s'utilise alors de la manière suivante : pour l'entier a_n…a₁a₀, égal à (…((a_n × 10 + a_n–1) × 10 + a_n–2) × 10 + …) × 10 + a₀,

• on se place sur la case 0 et l'on se déplace sur le cercle de a_n cases. On obtient ainsi le reste de a_n modulo 7 ;
• on emprunte alors la flèche qui part de la case où l'on se trouve et, à partir du point d'arrivée de la flèche, on se déplace sur le cercle de a_n–1 cases. On obtient ainsi le reste de a_n × 10 + a_n–1 modulo 7 ;
• on recommence alors le processus (emprunt d'une flèche, puis déplacement sur le cercle) jusqu'à a₀. On obtient alors le reste modulo 7 de (…((a_n × 10 + a_n–1) × 10 + a_n–2) × 10 + …) × 10 + a₀.

Le nombre est divisible par 7 si et seulement si la case d'arrivée est la case 0.

Diagramme de divisibilité par 7.

Exemple

Pour le nombre 17381.

• On passe de 0 à 1.
• On emprunte la flèche qui mène de 1 à 3 et l'on se déplace de 7 cases (i. e. on reste sur place). On se trouve en 3.
• On emprunte la flèche qui mène de 3 à 2 et l'on se déplace de 3 cases. On se trouve en 5.
• On emprunte la flèche qui mène de 5 à 1 et l'on se déplace de 8 cases (i. e. on se déplace d'une case). On se trouve en 2.
• On emprunte la flèche qui mène de 2 à 6 et l'on se déplace d'une case. On se trouve en 0. Le nombre est bien divisible par 7.

Remarque : cette méthode peut se généraliser à toute autre divisibilité par d et à toute autre base b en construisant le diagramme adapté (les nombres de 0 à d – 1 sur le cercle, des flèches reliant r au reste modulo d de r × b).

Pour déterminer si un nombre N est divisible par 11 :

• on calcule la somme A des chiffres en position impaire ;
• on calcule la somme B des chiffres en position paire ;

N est divisible par 11 si et seulement si la différence A – B (ou B – A) est divisible par 11.

Cela revient à effectuer la somme alternée de ses chiffres.

Considérons le nombre 19 382.

A = 1 + 3 + 2 = 6

B = 9 + 8 = 17

B – A = 17 – 6 = 11 est divisible par 11 donc 19 382 l'est aussi.

On peut également effectuer le calcul : 1 – 9 + 3 – 8 + 2 = –11.

Un nombre de trois chiffres est divisible par 11 si et seulement si la somme des deux chiffres extrêmes est égale au chiffre du milieu (a₂ + a₀ = a₁) ou à 11 plus le chiffre du milieu (a₂ + a₀ = 11 + a₁).

Exemples

374 est divisible par 11 parce que 3 + 4 = 7. Vérification : 374 = 11 × 34.

825 est divisible par 11 parce que 8 + 5 = 11 + 2. Vérification : 825 = 11 × 75.

On sépare le nombre par tranches de deux chiffres à partir des unités en intercalant des + et l'on effectue l'opération obtenue. Le résultat est divisible par 11 si et seulement si le nombre de départ l'était.

Exemple

Reprenons l'exemple précédent 19 382 ; on obtient :

1 + 93 + 82 = 176.

Comme le résultat a plus de deux chiffres, on recommence :

1 + 76 = 77.

77 est divisible par 11 donc 19 382 l'est aussi.

Un nombre est divisible par 11 si et seulement si la différence entre son nombre de dizaines et son chiffre des unités est divisible par 11.

3432 est divisible par 11 car 343-2 = 341, 34-1 = 33 et 33 est divisible par 11.

73108 n'est pas divisible par 11 car 7310 - 8 = 7302, 730-2 = 728, 72 - 8 = 64 et 64 n'est pas un multiple de 11.

Démonstration

Soit n un entier naturel alors n s'écrit de manière unique n = 10 a + b où a est le nombre de dizaine et b le chiffre des unités.

n = 11a + b - a et donc n congru à 0 modulo 11 est équivalent à b - a congru à 0 modulo 11.

Le nombre a_n…a₁a₀ est divisible par 13 si et seulement si a_n…a₁ + 4a₀ l'est. Pour voir si un nombre est divisible par 13, il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 52 (= 4 × 13). Le nombre de départ est divisible par 13 si et seulement si le résultat final est 13, 26 ou 39.

Exemples

• 312 est divisible par 13 car 31 + 4 × 2 = 39.
• 1 664 est divisible par 13 car 166 + 4 × 4 = 182 et 18 + 4 × 2 = 26.

Pour savoir si un grand nombre est divisible par 13, il suffit, puisque 10³ est congru à –1 modulo 13 comme modulo 7, d'appliquer la même réduction que dans le deuxième des trois critères ci-dessus de divisibilité par 7 : séparer ce nombre par tranches de 3 chiffres en partant des unités et insérer alternativement des – et des + entre les tranches.

On effectue l'opération ainsi écrite et le résultat est divisible par 13 si et seulement si le grand nombre considéré l'était.

Exemple

Soit le nombre 1 633 123 612 311 854.

On le sépare par tranches de trois à partir des unités :

1 | 633 | 123 | 612 | 311 | 854.

On intercale alternativement des – et des + :

1 – 633 + 123 – 612 + 311 – 854.

On effectue l'opération ainsi écrite :

1 – 633 + 123 – 612 + 311 – 854 = –1 664.

Le résultat est négatif, mais on peut prendre sa valeur absolue 1 664 et continuer.

D'après l'exemple précédent, 1 664 est divisible par 13 donc 1 633 123 612 311 854 l'est aussi.

Un nombre est divisible par 21 si et seulement s'il est divisible par 7 et par 3.

Le nombre a_n…a₁a₀ est divisible par 21 si et seulement si a_n…a₁ – 2a₀ (ou sa valeur absolue) l'est. Cette transformation est la même que la première indiquée pour la divisibilité par 7 (§ « Entiers inférieurs à 10 »). Pour voir si un nombre est divisible par 21, il suffit de la répéter jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 21. Le nombre de départ est divisible par 21 si et seulement si le résultat final est 0.

Exemple

5 271 est divisible par 21 car

527 – 2 × 1 = 5 25,

52 – 2 × 5 = 42 et

4 – 2 × 2 = 0.

Même méthode que plus loin pour 27 mais par tranches de 6 chiffres (voir le § « Critère de divisibilité par un facteur de 10ⁿ ± 1 » ci-dessous).

Le nombre a_n…a₁a₀ est divisible par 23 si et seulement si a_n…a₁ + 7a₀ l'est. Pour voir si un nombre est divisible par 23, il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 92 (= 4 × 23). Le nombre de départ est divisible par 23 si et seulement si le résultat final est 23, 46 ou 69.

Exemple

3 151 est divisible par 23 car 315 + 7 × 1 = 322 et 32 + 7 × 2 = 46.

Le nombre a_n…a₁a₀ est divisible par 23 si et seulement si a_n…a₂ + 3a₁a₀ l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 322 (= 23 × 14). Le nombre est divisible par 23 si et seulement si le résultat final l'est.

Exemple

Reprenons l'exemple précédent : 3 151 est divisible par 23 car 31 + 3 × 51 = 184 et 184 = 8 × 23.

Un nombre est divisible par 39 si et seulement s'il est divisible par 13 et par 3.

Le nombre a_n…a₁a₀ est divisible par 39 si et seulement si a_n…a₁ + 4a₀ l'est. Cette transformation est la même que celle pour la divisibilité par 13. Pour voir si un nombre est divisible par 39, il suffit de la répéter jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 78 (= 2 × 39). Le nombre de départ est divisible par 39 si et seulement si le résultat final est 39.

Exemple

4 992 est divisible par 39 car

499 + 4 × 2 = 507,

50 + 4 × 7 = 78 et

7 + 4 × 8 = 39

Même méthode que pour 27 mais par tranches de 6 chiffres (voir le § « Critère de divisibilité par un facteur de 10ⁿ ± 1 » ci-dessous).

Le nombre a_n…a₁a₀ est divisible par 41 si et seulement si a_n…a₁ – 4a₀ (ou sa valeur absolue) l'est. Pour voir si un nombre est divisible par 41, il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 41. Le nombre de départ est divisible par 41 si et seulement si le résultat final est 0.

Exemple

8 036 est divisible par 41 car

803 – 4 × 6 = 779,

77 – 4 × 9 = 41 et

4 – 4 × 1 = 0.

Même méthode que pour 27 mais par tranches de 5 chiffres (voir le § « Critère de divisibilité par un facteur de 10ⁿ ± 1 » ci-dessous).

Dans la méthode du ruban, pour certains d, la clé de divisibilité est plus simple lorsqu'on considère N comme écrit en base 10ⁿ pour un n bien choisi. En particulier, la clé de divisibilité en base 10ⁿ sera (1, −1) si d est un diviseur de 10ⁿ + 1, et elle sera simplement (1) si d est un diviseur de 10ⁿ – 1. On en a vu des exemples pour la divisibilité par 11 (facteur de 10¹ + 1 et de 10² – 1) et (pour un « grand » nombre) par 7 ou 13 (facteurs de 10³ + 1) ou par 27 (facteur de 10³ – 1). En résumé :

• Si d est un diviseur de 10ⁿ + 1, pour savoir si un grand nombre est divisible par d, il suffit de séparer ce nombre par tranches de n chiffres en partant des unités et d'insérer alternativement des – et des + entre les tranches. On effectue l'opération ainsi écrite et le résultat est divisible par d si et seulement si le nombre considéré au départ l'était. On répète cette transformation autant que faire se peut.

  Exemples

• Si d est un diviseur de 10ⁿ – 1 (ce qui est vrai pour n'importe quel n si d = 3 ou 9), même principe mais en n'insérant que des + entre les tranches.

  Exemples