Lissage exponentiel

La constante de temps d'un lissage exponentiel est le temps nécessaire pour que la réponse lissée d'un signal constant atteigne 1 – 1/e ≃ 63% du signal. Cette constante de temps τ est liée au facteur de lissage α par la relation :

${\displaystyle \alpha =1-\mathrm {e} ^{\frac {-\Delta \mathrm {T} }{\tau }}}$

où ΔT est la durée de l'intervalle d'échantillonnage des données discrètes. Si cette durée est petite par rapport à la constante de temps, cette expression se simplifie en :

${\displaystyle \alpha \simeq {\frac {\Delta \mathrm {T} }{\tau }}}$.

Le lissage exponentiel démarre en posant que s₀ = x₀. On suppose donc que la première valeur lissée est égale à la première valeur brute observée. Si α est petit, les valeurs lissées dépendent fortement du passé ; la valeur initiale s₀ peut donc influer fortement sur les valeurs suivantes. Le choix de la valeur de démarrage du processus de lissage est donc important. On peut, par exemple, retenir comme valeur initiale du lissage la moyenne des dix valeurs précédentes (ou plus ou moins selon la nature des données brutes). Plus ${\displaystyle \alpha }$ est petit, plus les résultats obtenus dépendent des valeurs initiales.

Les résultats du lissage exponentiel dépendent du choix du paramètres de lissage α. Le lissage exponentiel est une méthode empirique et le choix de ce paramètre dépend souvent de l'expérience et des connaissances de l'analyste. On peut toutefois se fonder sur des considérations plus objectives, liées aux données, pour déterminer le « meilleur α » :

Chaque nouvelle valeur lissée s_t est une « prévision » ${\displaystyle {\hat {y}}_{t}}$ de y_t.

On obtient la meilleure prévision (au sens des moindres carrés) en recherchant la valeur de ${\displaystyle \alpha }$ qui minimise la somme des carrés des écarts (SCE):

${\displaystyle \mathrm {SCE} =\sum _{t=1}^{\mathrm {T} }(y_{t}-{\hat {y}}_{t|t-1})^{2}=\sum _{t=1}^{\mathrm {T} }e_{t}^{2}}$

Toutefois, contrairement à la régression linéaire où les paramètres minimisant SCE sont obtenus en résolvant des équation linéaires, les équations à résoudre ici ne sont pas linéaires : on doit donc estimer α avec un algorithme de minimisation.

Le terme « exponentiel » décrit les poids qui sont affectés aux valeurs passées dans l'évaluation de la valeur actuelle : comme

${\displaystyle s_{t}=\alpha y_{t}+(1-\alpha )s_{t-1}}$

on obtient, en substituant s_{t – 1} par sa valeur :

${\displaystyle s_{t}=\alpha y_{t}+\alpha (1-\alpha )y_{t-1}+(1-\alpha )^{2}s_{t-2}}$

et en continuant les substitutions :

${\displaystyle s_{t}=\alpha \left[y_{t}+(1-\alpha )y_{t-1}+(1-\alpha )^{2}y_{t-2}+(1-\alpha )^{3}y_{t-3}+\cdots +(1-\alpha )^{t-1}y_{1}\right]+(1-\alpha )^{t}y_{0}}$

Le poids des données dans l'évaluation de la valeur actuelle décroit en raison géométrique de leur ancienneté par rapport à la valeur actuelle, c'est-à-dire selon une fonction exponentiellement décroissante.

Comme le lissage par moyenne mobile, le lissage exponentiel introduit dans les résultats un délai qui dépend de la période d’échantillonnage des données. Dans le lissage par moyenne mobile, on peut compenser cet effet en décalant les valeurs lissées d'une valeur égale à la moitié de la largeur de la fenêtre de lissage (pour une fenêtre de lissage symétrique). Ceci n'est pas possible avec le lissage exponentiel. Du point de vue du calcul, une moyenne mobile n'exige de conserver en mémoire que les k dernières valeurs (pour un fenêtrage de largeur k) alors que le lissage exponentiel nécessite de conserver toutes les valeurs passées.

Les données commencent au temps t = 0 ; de nouveau {y_t} est la série des données brutes. On dispose au moins des données y₀ et y₁. Le terme s_t est la série des valeurs lissées et {σ_t} les estimations de la tendance.

${\displaystyle s_{1}=y_{1}}$

${\displaystyle \sigma _{1}=y_{1}-y_{0}}$

pour t > 1 :

${\displaystyle s_{t}=\alpha y_{t}+(1-\alpha )(s_{t-1}+\sigma _{t-1})}$

${\displaystyle \sigma _{t}=\beta (s_{t}-s_{t-1})+(1-\beta )\sigma _{t-1}}$

Le choix de la valeur initiale y₀ est une question de pratique ; on peut prendre comme point de départ une moyenne d'un certain nombre de valeurs passées précédentes.

À partir de la période t, une prévision à la période t + m est donnée par :

${\displaystyle \mathrm {P} _{t+m}=s_{t}+m\sigma _{t}}$

À partir des données initiales y₀ et y₁, on calcule :

${\displaystyle s'_{0}=y_{0}}$

${\displaystyle s''_{0}=y_{0}}$

${\displaystyle s'_{t}=\alpha y_{t}+(1-\alpha )s'_{t-1}}$

${\displaystyle s''_{t}=\alpha s'_{t}+(1-\alpha )s''_{t-1}}$

la valeur lissée pour t ≥ 1 est :

${\displaystyle a_{t}=2s'_{t}-s''_{t}}$

et l'estimation de la tendance :

${\displaystyle b_{t}={\frac {\alpha }{1-\alpha }}(s'_{t}-s''_{t})}$

• Langage R : Méthode de Holt-Winters dans la bibliothèque stats[6] et la fonction ets dans la bibliothèque forecast[7] (mise en œuvre complète conduisant à de meilleurs résultats[8]).
• IBM SPSS comporte : les lissages simple et saisonnalisé, la méthode à tendance de Holt, la tendance amortie, la méthode de Winters pour les tendances additive et multiplicative dans l'extension Modeler statistical/Time-Series modeling procedure.
• Stata : commande tssmooth[9]
• LibreOffice 5.2[10]
• Microsoft Excel 2016[11]

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Exponential smoothing » (voir la liste des auteurs).

• R. Bourbonnais et J.-C. Usunier, La prévision des ventes, Economica, 2017, 6^e éd..

• Série temporelle
• Moyenne mobile
• ARMA
• Fonction exponentielle