Lemme des tresses

Soient E, F deux espaces vectoriels sur un corps commutatif de caractéristique différente de 2. Soit f : E³ → F une fonction trilinéaire, antisymétrique par rapport à ses deux premières variables et symétrique par rapport à ses deux dernières variables. Alors f est la fonction nulle sur E³.

Soit (u, v, w) appartenant à E³. ${\displaystyle f(u,v,w)=f(u,w,v)=-f(w,u,v)=-f(w,v,u)=f(v,w,u)=f(v,u,w)=-f(u,v,w)}$ donc f est la fonction nulle.

Ce lemme permet de montrer[2] que pour tout ouvert connexe U d'un espace euclidien E, une application de U dans E de classe C² dont la différentielle en tout point est une isométrie vectorielle ne peut être qu'une isométrie affine (restreinte à U).