Lemme de Zassenhaus

Lemme — Soient ${\displaystyle G}$ un groupe, ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle C}$ deux sous-groupes de ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle B}$ un sous-groupe normal de ${\displaystyle A}$, et ${\displaystyle D}$ un sous-groupe normal de ${\displaystyle C}$. Alors ${\displaystyle B(A\cap D)}$ est normal dans ${\displaystyle B(A\cap C}$), ${\displaystyle (B\cap C)D}$ est normal dans ${\displaystyle (A\cap C)D}$, et les deux groupes quotients correspondants sont isomorphes. Plus formellement :

${\displaystyle (B~\triangleleft ~A\leq G\quad }$ et ${\displaystyle \quad D~\triangleleft ~C\leq G)\quad \Rightarrow \quad B(A\cap C)/B(A\cap D)\simeq (A\cap C)D/(B\cap C)D.}$