Lemme de Schreier

Soient :

• ${\displaystyle G}$ un groupe ;
• ${\displaystyle S}$ une partie génératrice de ${\displaystyle G}$ ;
• ${\displaystyle H}$ un sous-groupe de ${\displaystyle G}$ ;
• ${\displaystyle T}$ une transversale à droite de ${\displaystyle H}$ dans ${\displaystyle G}$, contenant l'élément neutre.

Pour tout élément g de ${\displaystyle G}$, on note g l'élément de ${\displaystyle T}$ qui a même classe à droite :

${\displaystyle {\overline {g}}\in T\quad {\text{et}}\quad g\in H{\overline {g}}}$.

Alors, ${\displaystyle H}$ est engendré par le sous-ensemble

${\displaystyle \{ts({\overline {ts}})^{-1}\mid t\in T,s\in S\}}$.

Si ${\displaystyle H}$ est d'indice 2 dans ${\displaystyle G}$, alors ${\displaystyle S}$ contient au moins un ${\displaystyle q\notin H}$, et on peut prendre comme transversale ${\displaystyle T=\{1,q\}}$. On peut de plus se ramener au cas où ${\displaystyle q}$ est le seul élément de ${\displaystyle S}$ qui n'appartient pas à ${\displaystyle H}$ (en remplaçant les autres par leur produit par ${\displaystyle q}$). On calcule alors

${\displaystyle ts({\overline {ts}})^{-1}={\begin{cases}{\text{si}}~s=q\quad {\text{et}}&{\begin{cases}t=1:&q({\overline {q}})^{-1}=1\\t=q:&q^{2}({\overline {q^{2}}})^{-1}=q^{2}\end{cases}}\\{\text{si}}~s\in S\setminus \{q\}~{\text{et}}&{\begin{cases}t=1:&s({\overline {s}})^{-1}=s\\t=q:&qs({\overline {qs}})^{-1}=qsq^{-1}.\end{cases}}\end{cases}}}$

${\displaystyle H}$ est donc engendré par ${\displaystyle q^{2}}$ joint aux éléments de ${\displaystyle S\setminus \{q\}}$ et à leurs conjugués par ${\displaystyle q}$.

• On en déduit immédiatement que si ${\displaystyle G}$ est un groupe de type fini et ${\displaystyle H}$ un sous-groupe d'indice fini alors ${\displaystyle H}$ est de type fini.
• Ce lemme est également une première étape dans la preuve par Schreier du théorème de Nielsen-Schreier, selon lequel tout sous-groupe d'un groupe libre est libre.

(en) Marshall Hall, Jr., The Theory of Groups [détail des éditions], p. 96-97 (à ceci près que Hall appelle classes à gauche nos classes à droite)