Irréductibilité

En mathématiques, les termes « irréductibilité » et « irréductible » ont de multiples sens.

• Une fraction irréductible est une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux.
• En algèbre générale, « un irréductible » peut être une expression abrégée pour « un élément irréductible », comme un polynôme irréductible. Le théorème d'irréductibilité de Hilbert assure que pour tout ensemble fini de polynômes irréductibles dans ℚ[X₁, … , X_r, Y₁, … , Y_s], il existe des valeurs rationnelles par lesquelles on peut remplacer X₁, … , X_r tout en préservant l'irréductibilité de tous ces polynômes.
• En théorie des représentations, une représentation irréductible est une représentation non nulle dont toute sous-représentation propre est nulle. De même, « module irréductible » est un autre nom pour : module simple.
• Un espace irréductible est un espace topologique non vide X qui n'est pas réunion de deux fermés strictement inclus dans X. Cette notion est bien plus utilisée en géométrie algébrique – les variétés algébriques étant munies de la topologie de Zariski – qu'en topologie générale, car les seuls espaces séparés irréductibles sont les singletons.
• Absolument irréductible (en) signifie, pour une représentation ou pour une variété algébrique : irréductible même après avoir remplacé le corps des coefficients par une extension finie ou, ce qui est équivalent, irréductible quand on remplace le corps par sa clôture algébrique.
• En algèbre commutative, un anneau irréductible est un anneau commutatif dont le spectre est un espace topologique irréductible.
• Une matrice irréductible est une matrice qui n'est pas conjuguée par permutation à une matrice triangulaire par blocs avec au moins deux blocs diagonaux.
• Un graphe orienté irréductible est un graphe fortement connexe, ce qui équivaut à ce que sa matrice d'adjacence soit irréductible.
• Une chaîne de Markov est dite irréductible si tous ses états communiquent.
• Une variété de dimension n (PL (en) ou différentielle) est dite irréductible si toute (n – 1)-sphère plongée y borde une n-boule plongée. (Ce vocabulaire, cher aux spécialistes des 3-variétés – cf. Théorème de décomposition de Milnor – peut prêter à confusion quand on le confronte à celui des algébristes. En effet, une variété de dimension n est dite indécomposable (en) – en anglais : prime – si elle n'est ni la sphère Sⁿ, ni une somme connexe de deux variétés différentes de Sⁿ. Ainsi, toute variété irréductible est indécomposable mais la réciproque est fausse, alors qu'en algèbre c'est « l'inverse » : tout élément premier d'un anneau intègre est irréductible et la réciproque est fausse.) Une 3-variété M est dite P²-irréductible si elle est irréductible et s'il n'existe aucun plongement bilatère (en) du plan projectif réel dans M.
• En algèbre universelle, une variété irréductible est une structure algébrique qui n'est pas produit de structures plus simples.

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