Théorème de décomposition de Milnor

On dit qu'une variété P est indécomposable[1] si elle n'est pas une sphère, et ne peut se décomposer en somme connexe de façon non triviale, c'est-à-dire si P = P₁♯P₂ implique que P₁ ou P₂ est homéomorphe à une sphère. Le théorème de décomposition affirme alors que

Si P est une variété indécomposable de dimension 3, c'est soit le produit S² × S¹, soit le fibré non orientable de fibre S² au-dessus de S¹, soit une variété irréductible, c'est-à-dire qu'une 2-sphère plongée dans P y borde une boule plongée. On peut donc aussi énoncer le théorème en disant que toute variété compacte orientable de dimension 3 se décompose en une somme de variétés irréductibles et de variétés S² × S¹. Le théorème se généralise aux variétés non orientables, mais l'unicité doit être légèrement modifiée : les composantes sont à présent des variétés irréductibles, ou des fibrés non orientables, de fibre S² au-dessus de S¹.

La démonstration est basée sur la technique des surfaces normales (en), découverte par Hellmuth Kneser. L'existence d'une décomposition fut montrée par Kneser en 1930, mais la formulation exacte et la démonstration de l'unicité ne furent faites par John Milnor qu'en 1962.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Prime decomposition (3-manifold) » (voir la liste des auteurs).
• (en) J. Milnor, « A unique factorization theorem for 3-manifolds », Amer. J. Math., vol. 84,‎ 1962, p. 1–7

• Conjecture de géométrisation
• Classification des surfaces (de)