Intégrale d'Itō

Il s'agit d'une intégrale définie de façon similaire à l'intégrale de Riemann comme limite d'une somme de Riemann. Si on se donne un processus de Wiener (ou mouvement brownien) ${\displaystyle B:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R} \,}$ ainsi que ${\displaystyle X:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R} }$ un processus stochastique adapté à la filtration naturelle associée à ${\displaystyle B_{t}}$, alors l'intégrale d'Itô

${\displaystyle \int _{0}^{T}X_{t}\,\mathrm {d} B_{t}:\Omega \to \mathbb {R} }$

est définie par la limite en moyenne quadratique de

${\displaystyle \sum _{i=0}^{k-1}X_{t_{i}}\left(B_{t_{i+1}}-B_{t_{i}}\right)}$

lorsque le pas de la partition ${\displaystyle 0=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{k}=T}$ de ${\displaystyle [0,T]}$ tend vers 0.

Ces sommes, considérées comme des sommes de Riemann-Stieltjes pour chaque chemin du mouvement brownien donné, ne convergent pas en général ; la raison en est que le mouvement brownien n'est pas à variations bornées. L'usage de la convergence quadratique est le point essentiel de cette définition.

Avec les notations précédentes, le processus stochastique Y défini, pour t réel positif, par ${\displaystyle Y_{t}=\int _{0}^{t}{X_{s}\mathrm {d} B_{s}}}$, est une martingale. En particulier, son espérance est constante.

D'autre part, on a la propriété dite d'isométrie: ${\displaystyle E(Y_{t}^{2})=\int _{0}^{t}{E(X_{s}^{2})\mathrm {d} s}}$. Cette dernière intégrale est « classique », c'est-à-dire qu'elle est une intégrale au sens de Riemann par rapport à la variable s.

• (en) Daniel Revuz et Marc Yor, Continuous martingales and Brownian motion, Berlin, Springer, 1999 (ISBN 3-540-57622-3)

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