Hauteur (géométrie algébrique)

Si ${\displaystyle X}$est une variété projective, et que ${\displaystyle \phi :X\hookrightarrow P^{n}\mathbb {Q} }$ est un plongement projectif alors on peut définir la hauteur d'un point de ${\displaystyle X}$ par ${\displaystyle h(P)=h(\phi (P))}$.

Une manière a priori plus intrinsèque de définir la hauteur est de s'appuyer sur l'observation suivante : un plongement projectif correspond au choix d'un diviseur très ample ${\displaystyle D}$ ainsi qu'à un choix de sections génératrices de l'espace de Riemann-Roch ${\displaystyle {\mathcal {L}}(D)}$. On associe ainsi, à un diviseur très ample, le plongement ${\displaystyle \phi _{D}}$correspondant et la hauteur ${\displaystyle h_{D}(P)=h(\phi _{D}(P))}$. Cette définition possède des propriétés remarquables :

• Choisir un autre diviseur n'affecte la hauteur que par l'ajout d'une fonction bornée : ${\displaystyle h_{D}(P)=h_{D'}(P)+O(1)}$
• Si ${\displaystyle D\sim D'}$ sont deux diviseurs linéairement équivalents, alors ${\displaystyle h_{D}=h_{D'}+O(1)}$
• Si ${\displaystyle D}$ et ${\displaystyle D'}$ sont tous deux très amples, alors ${\displaystyle h_{D+D'}=h_{D}+h_{D'}+O(1)}$

En fait Weil a montré qu'il existe un unique homomorphisme du groupe de Picard dans les fonctions (modulo les fonctions bornées) satisfaisant les trois propriétés ci-dessus.

Sur une variété abélienne, dotée d'une application « multiplication par ${\displaystyle m}$», notée ${\displaystyle [m]}$, le théorème du cube montre que

$${\displaystyle h_{D}([m]P)=m^{2}h_{D}(P)+O(1)}$$

autrement dit, la hauteur croît très rapidement avec les applications successives de cette multiplication.

Il est possible d'introduire d'autres hauteurs, comme l'avait initié Weil dans sa thèse[11], et comme l'a fait Faltings pour sa démonstration de la conjecture de Mordell-Weil[12] - [13].

Sur une variété abélienne, les fonctions bornées intervenant dans les relations entre hauteurs peut être éliminée. Pour cela, il faut modifier légèrement la définition et considérer la hauteur canonique, ou hauteur de Néron-Tate[14] - [15] :

$${\displaystyle {\hat {h}}_{D}(P)=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{2}}}h_{D}([n]P)}$$

Cette hauteur possède les propriétés remarquables suivantes :

• ${\displaystyle {\hat {h}}_{D}(P)=h_{D}(P)+O(1)}$
• ${\displaystyle {\hat {h}}_{D}([m]P)=m^{2}{\hat {h}}_{D}(P)}$
• ${\displaystyle {\hat {h}}_{D}(P+Q)+{\hat {h}}_{D}(P-Q)=2{\hat {h}}_{D}(P)+2{\hat {h}}_{D}(Q)}$

Lorsque ${\displaystyle D}$est ample, alors ${\displaystyle {\hat {h}}_{D}(P)=0}$si et seulement si ${\displaystyle P}$est un point de torsion ; de plus, la hauteur permet de définir l'accouplement de Néron-Tate :

$${\displaystyle \langle P,Q\rangle _{D}={\hat {h}}_{D}(P+Q)-{\hat {h}}_{D}(P)-{\hat {h}}_{D}(Q)}$$

Propriétés de finitude

Néron a montré que la hauteur canonique satisfait une propriété de finitude analogue à la hauteur naïve. Plus précisément, si ${\displaystyle A}$est une variété abélienne, alors

$${\displaystyle \#\left\{P\in A(K)\mid {\hat {h}}_{D}(P)\leq B\right\}\sim {\frac {\pi ^{r/2}}{\Gamma (r/2+1)}}\cdot {\frac {\#A(K)_{\textrm {tors}}}{R_{A/K}}}\cdot B^{r/2}}$$

où ${\displaystyle r}$est le rang de ${\displaystyle A}$et ${\displaystyle R_{A/K}}$est le régulateur, c'est-à-dire le déterminant de la matrice ${\displaystyle \langle P_{i},P_{j}\rangle _{D}}$où les ${\displaystyle P_{i}}$forment une base de ${\displaystyle A(K)/A(K)_{\textrm {tors}}}$.

La question de la minoration de la hauteur de Néron-Tate se pose également sur les variétés abéliennes[10].