Graphe pentakidodécaédrique

Il existe treize graphes correspondant aux squelettes des treize solides de Catalan, les polyèdres duaux des solides d'Archimède. Le graphe pentakidodécaédrique est l'un d'eux. Les douze autres sont le graphe hexacontaédrique trapézoïdal, le graphe icositétraédrique trapézoïdal, le graphe hexakioctaédrique, le graphe hexaki-icosaédrique, le graphe hexacontaédrique pentagonal, le graphe icositétraédrique pentagonal, le graphe dodécaédrique rhombique, le graphe triacontaédrique rhombique, le graphe triakioctaédrique, le graphe tétrakihexaédrique, le graphe triaki-icosaédrique et le graphe triakitétraédrique.

Le diamètre du graphe pentakidodécaédrique, l'excentricité maximale de ses sommets, est 5, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 5 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 3. Il s'agit d'un graphe 5-sommet-connexe et d'un graphe 5-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 5 sommets ou de 5 arêtes.

Le nombre chromatique du graphe pentakidodécaédrique est 4. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 4 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

L'indice chromatique du graphe pentakidodécaédrique est 6. Il existe donc une 6-coloration des arêtes du graphe telle que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

Le groupe d'automorphismes du graphe pentakidodécaédrique est d'ordre 120.

Le polynôme caractéristique de la matrice d'adjacence du graphe pentakidodécaédrique est : ${\displaystyle x^{4}(x+2)^{4}(x^{2}-3x-15)(x^{2}-x-3)^{5}(x^{4}-15x^{2}-20x+5)^{3}}$.

• Théorie des graphes

• (en) Eric W. Weisstein, Pentakis Dodecahedral Graph (MathWorld)