Géométrie dans l'Égypte antique

Triangle 3-4-5

Un triangle dont les côtés sont en proportion 3-4-5 est rectangle, l'angle droit étant défini par les côtés 3 et 4. Cette propriété se démontre par la réciproque du théorème de Pythagore, du fait que 3² + 4² = 5² (car 9 + 16 = 25). Un tel triangle est parfois appelé « triangle égyptien », en référence à Plutarque et à son traité Sur Isis et Osiris où il donne une interprétation ésotérique du triangle 3-4-5, le liant à Isis, Osiris et Horus[3]. Plutarque écrit à la fin du I^er siècle ou au début du suivant, et on ne peut rien en déduire à propos de l'Égypte antique[4].

Le triangle rectangle 3-4-5 est très anciennement connu : le triplet pythagoricien 3-4-5 est mentionné sur des tablettes babyloniennes, mais en ce qui concerne l'Égypte antique, les choses sont beaucoup moins claires. Quatre des sections du papyrus Rhind : R57, R58, R59a et R59b, ont pour objet des calculs relatifs à la pente d'une pyramide[5], et cette pente est de 4/3 (voir papyrus Rhind), c'est-à-dire que le triangle correspondant, dont les côtés sont la demi-base de la pyramide, sa hauteur, et la ligne de plus grande pente d'une face, est proportionnel au triangle 3-4-5. Cependant aucun de ces problèmes ne donne la mesure du troisième côté, ni même ne parle de triangle[6].

Il est possible que les architectes égyptiens, assistés de tendeurs de corde, aient tracé parfois leurs angles droits au moyen du triangle 3-4-5, mais il n'existe pas de traces écrites. La méthode ne pouvait pas fonctionner pour les édifices de grande dimension comme les pyramides, vu la précision de la méthode et ce que l'on sait des cordes utilisées à l'époque et de leur élasticité[7].

La pyramide de Khéphren a pu être construite en respectant le triangle directeur des quatre exemples du papyrus Rhind : la ligne de plus grande pente d'une face étant comme 5, la verticale du sommet à la base est comme 4 et la demi-base qui termine le triangle rectangle est comme 3, ce qui correspond à un angle théorique de 53°07'48" de la ligne de plus grande pente avec l'horizontale. L'angle mesuré par Petrie (53°10', voir pyramide de Khéphren) est très proche de cette valeur. Le carré de la base, de 215,16 m de côté, est exact à 8 cm près, les côtés sont parallèles à 1' près, les faces sont orientées avec les points cardinaux à 5' près. La hauteur, évaluée à 143,87 m, correspond pour le tétraèdre à une pente de 53°13'[8].

Les problèmes R56, R57, R58 et R59 du papyrus Rhind détaillent la méthode de calcul de la pente d'une pyramide. Cette pente est désignée en ancien égyptien par le terme seqed. Elle est le résultat de la demi-base divisée par la hauteur.

Énoncé du problème R56 du papyrus Rhind[9]

« Une pyramide dont le côté est de 360 (coudées) et dont la hauteur est 250 (coudées). Fais en sorte de connaitre sa pente. Prends la moitié de 360. Le résultat est 180. Multiplie 250 de sorte à trouver 180. Cela fait 1/2 1/5 1/50 d'une coudée. Une coudée vaut 7 palmes. Multiplie 7 comme il suit : »

Représentation d'une pyramide. Calcul de la pente b/h

« La pente est de 5 1/25 palmes. »

Cette solution représente pour le mathématicien moderne le produit par sept de la cotangente de l'angle formé par la demi-base et l'apothème de la pyramide (l'angle formé par b et a sur la figure ci-contre). Les Égyptiens l'exprimèrent en coudées, puis finalement en palmes (une coudée valant sept palmes). Le seqed ne représentait donc pas à proprement parler une pente, mais plutôt la mesure du côté horizontal du triangle proportionnel dont la hauteur vaut une coudée, côté exprimé ensuite en palmes. Par conséquent, la formule suivante permettait d'obtenir le seqed de la pyramide : ${\displaystyle seqed={\frac {b}{h}}\cdot 7}$.

Le seqed correspond également à la différence de longueur des côtés inférieur et supérieur d'une pierre qui épouse la pente de la pyramide. Il permettait donc d'en déterminer la coupe.

Comme le montre le problème R44 du papyrus Rhind, la formule du volume d'un solide de forme cubique était connue des anciens Égyptiens : V = l * L * H où l, L et H sont respectivement la longueur, la largeur et la hauteur.

Énoncé du problème R44 du papyrus Rhind[19]

« Exemple de calcul d'un grenier rectangulaire. Sa longueur est 10, sa largeur est 10 et sa hauteur est 10. Quel montant de grain cela fait-il ? Multiplie 10 par 10. Cela fait 100. Multiplie 100 par 10. Cela fait 1000. Prends la moitié de 1000, soit 500. Cela fait 1500. C'est sa quantité en khar. Prends 1/20 de 1500. Cela fait 75, sa quantité en quadruple-heqat, soit 7500 heqat de grain. »

Grenier à blé égyptien

Les calculs de volume d'un cylindre interviennent dans les études du contenu des grenier à blé dont la base est ronde. Les représentations égyptiennes de ce type de grenier sont fréquentes (voir ci-contre). Le sommet est de forme ovoïde mais celui-ci n'est jamais pris en compte dans les calculs. L'introduction du grain se faisant par une trappe située au sommet, le tas de grain ne devait jamais dépasser la limite à partir de laquelle le diamètre du grenier diminuait.

Il existe deux types de calcul d'un tel volume. L'exemple suivant présente le premier type, fondé sur le calcul de l'aire d'un disque.

Énoncé du problème R41 du papyrus Rhind[20]

« Exemple de calcul d'un grenier rond dont le diamètre est 9 et la hauteur, 10. Extrait 1/9 de 9, soit 1. Le reste est 8. Multiplie 8 par 8. Cela fait 64. Multiplie 64 par 10. Cela fait 640 coudées (Sous-entendu coudées cubiques). Ajoute la moitié de cela à cela. Cela fait 960: le contenu en khar. Prends 1/20 de 960, soit 48. C'est ce que cela donne en quadruple-heqat de grains, 48 heqat. »

Méthode de calcul :

et

La formule algébrique équivalente serait donc ${\displaystyle Volume_{cylindre-en-khar}=[(d-(1/9)*d)^{2}]*h*(3/2)}$, avec d le diamètre du disque et h, la hauteur du cylindre.

Le papyrus Kahun quant à lui, présente un calcul faisant intervenir une seconde méthode :

Calcul du problème K4 du papyrus Kahun

et

et

Ce calcul, répondant au problème du calcul d'un cylindre dont l'énoncé manque, peut être traduit en langage algébrique moderne. L'énoncé devait demander au scribe de calculer le volume en khar d'un grenier rond de 12 coudées de diamètre et de 8 coudées de hauteur.

Nous traduirions le raisonnement du scribe par l'application de cette formule : ${\displaystyle Volume_{cylindre-en-khar}=(2/3)*h*[d+(d/3)]^{2}}$, formule strictement équivalente à celle énoncée plus haut reposant sur le calcul de l'aire d'un disque[21].

Problème 41 du papyrus Rhind (à gauche, texte en hiératique ; au centre, transcription en hiéroglyphes ; à droite, inversion des signes et translittération)

Pyramide tronquée étudiée dans le problème 14 du papyrus de Moscou

Le problème M14 du papyrus de Moscou est remarquable en ce sens qu'il dévoile l'extraordinaire capacité des anciens Égyptiens à inventer et utiliser des méthodes de calcul complexes et d'une parfaite justesse.

Énoncé du problème M14 du papyrus de Moscou

« Méthode de calcul d'une pyramide tronquée. Si on te dit : Une pyramide de 6 pour la hauteur par 4 sur la base, par 2 sur le sommet. Calcule le carré de 4. Le résultat est 16. Prends le double de 4. Le résultat est 8. Prends le carré de 2. Le résultat est 4. Tu dois additionner le 16, le 8 et le 4. Le résultat est 28. Prends 1/3 de 6. Il vient 2. Prends 2 fois 28. Il vient 56. Le résultat est 56. Tu trouveras cela correct. »

Cet énoncé décrit le calcul suivant :

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}6(4^{2}+4\times 2+2^{2})}$

que l'on pourrait traduire très exactement par :

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}h(a^{2}+ab+b^{2}).}$

formule générale exacte d'une pyramide tronquée.

Le moyen mis en œuvre par les Égyptiens pour déterminer une méthode aussi complexe nous est inconnu. Les Babyloniens ne sont parvenus qu'à une approche approximative du résultat pouvant être associée à la formule suivante :

${\displaystyle V={\frac {1}{2}}h(a^{2}+b^{2})}$[22].

reconstitution de la clepsydre d'Oxyrhynque

Un papyrus d'époque tardive, mais découvert en Égypte à Oxyrhynque traite du volume d'un tronc de cône identifié à une clepsydre. La description de cet instrument rappelle de très près la clepsydre de Karnak et démontre que les anciens Égyptiens furent très tôt capables de calculer de tels volumes.