Formule sommatoire d'Abel
Énoncé
Soient une suite de nombres réels ou complexes et une fonction réelle ou complexe de classe C1.
On pose
Alors, pour tout réel x,
.
Démonstration
Il s'agit d'une intégration par parties dans une intégrale de Stieltjes, mais ce cas particulier peut se démontrer directement.
La fonction A est nulle sur ]–∞, 1[ donc si x < 1, l'équation se résume à 0 = 0.
Supposons désormais x ≥ 1 et notons N ≥ 1 sa partie entière (donc A(x) = A(N)). La formule de sommation par parties donne :
Exemples
Constante d'Euler-Mascheroni
Pour et , en notant la partie entière de x, on trouve (pour tout réel x ≥ 1, ou même x > 0) :
dont on déduit une expression intégrale de la constante d'Euler-Mascheroni :
(où E est la fonction partie entière).
Séries de Dirichlet
Pour toute série de Dirichlet classique
,
la formule sommatoire d'Abel, appliquée à , montre que pour tout nombre complexe s de partie réelle strictement supérieure à 0 et à l'abscisse de convergence de la série[1] :
.
Ci-dessous, deux exemples. On en trouvera un autre dans l'article « Fonction de von Mangoldt ».
Fonction zêta de Riemann
Pour on obtient :
.
Cette formule est valable pour Re(s) > 1. On en déduit notamment le théorème de Dirichlet selon lequel la fonction zêta de Riemann ζ(s) admet un pôle simple de résidu 1 en s = 1.
Inverse de la fonction zêta de Riemann
Pour (la fonction de Möbius) :
.
Cette formule est valable pour Re(s) > 1. Le symbole M désigne la fonction de Mertens, définie par
- .
Note
- C'est un cas particulier d'une propriété des séries de Dirichlet générales qui se démontre de la même façon.
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