Fonction asymptotique

On suppose dans cet article que ${\displaystyle E}$ est un espace vectoriel réel de dimension finie. On note

• ${\displaystyle \operatorname {C{\overline {onv}}} (E)}$ l'ensemble des fonctions de ${\displaystyle E}$ dans ℝ qui sont convexes (c'est-à-dire d'épigraphe convexe), propres (c'est-à-dire ne prenant pas la valeur ${\displaystyle -\infty }$ et non identiquement égales à ${\displaystyle +\infty }$) et « fermées » (c'est-à-dire semi-continues inférieurement, ou encore, d'épigraphe fermé).

L'épigraphe ${\displaystyle \operatorname {epi} \,f}$ d'une fonction ${\displaystyle f\in \operatorname {C{\overline {onv}}} (E)}$ est un convexe fermé non vide de ${\displaystyle E\times \mathbb {R} }$. On peut donc considérer son cône asymptotique ${\displaystyle (\operatorname {epi} \,f)^{\infty }}$. On peut montrer que celui-ci est l'épigraphe d'une fonction qui est, par définition, la fonction asymptotique de ${\displaystyle f}$.

Certains auteurs[2] définissent la fonction asymptotique de fonctions convexes non nécessairement fermées ; cette légère extension est d'une utilité marginale.

La définition de la fonction asymptotique nous apprend peu de choses sur la manière de calculer cette fonction et sur sa signification. La propriété suivante fait le lien entre ${\displaystyle f^{\infty }(d)}$, pour ${\displaystyle d\in E}$, et le quotient différentiel

On sait que, si ${\displaystyle f}$ est convexe, ${\displaystyle t\in {]0,\infty [}\mapsto q(t)}$ est croissante et que la limite de ${\displaystyle q}$ lorsque ${\displaystyle t\downarrow 0}$ est la dérivée directionnelle ${\displaystyle f'(x;d)}$, parfois dite au sens de Dini. Le résultat suivant nous apprend, en particulier, que la limite de ${\displaystyle q}$ lorsque ${\displaystyle t\to \infty }$ est la valeur en ${\displaystyle d}$ de la fonction asymptotique.

Quelques remarques sur ce résultat.

• Comme ${\displaystyle f(x)\in \mathbb {R} }$, la formule du point 1 s'écrit aussi${\displaystyle f^{\infty }(d)=\lim _{t\to +\infty }{\frac {f(x+td)}{t}},}$avec un quotient ${\displaystyle f(x+td)/t}$ qui, contrairement au quotient différentiel, n'est pas nécessairement monotone en ${\displaystyle t}$.
• L'utilisation de la formule du point 1 ou de celle exposée ci-dessus est souvent le moyen le plus rapide de calculer la valeur de la fonction asymptotique en une direction ${\displaystyle d}$. Insistons sur le fait que la limite du quotient différentiel ne dépend pas du point ${\displaystyle x}$ choisi dans le domaine de ${\displaystyle f}$.
• La formule précédente montre que si ${\displaystyle f}$ a une asymptote dans la direction ${\displaystyle d}$, ${\displaystyle f^{\infty }(d)}$ en est la pente. Dans le cas contraire, ${\displaystyle f^{\infty }(d)=+\infty }$.
• Si ${\displaystyle x+t_{1}d\notin \operatorname {dom} \,f}$ pour un ${\displaystyle t_{1}>0}$, il en sera ainsi pour tout ${\displaystyle t\geqslant t_{1}}$, si bien que dans ce cas, ${\displaystyle f^{\infty }(d)=+\infty }$. Cette observation, conséquence du point 1, est aussi une conséquence du point 2, car la direction ${\displaystyle d}$ considérée n'est pas dans ${\displaystyle (\operatorname {dom} \,f)^{\infty }}$, donc pas non plus dans ${\displaystyle \operatorname {dom} \,f^{\infty }}$.
• On n'a pas nécessairement égalité au point 2 de la proposition précédente. Par exemple, si ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ est la fonction exponentielle, on a ${\displaystyle \operatorname {dom} \,f^{\infty }=\mathbb {R} _{-}}$, alors que ${\displaystyle (\operatorname {dom} \,f)^{\infty }=\mathbb {R} ^{\infty }=\mathbb {R} }$.

Après ces précisions sur la fonction asymptotique, voici un résultat qui montre l'utilité du concept pour déterminer l'existence d'un ensemble non vide et borné de minimiseurs. On note l'ensemble de sous-niveau ${\displaystyle \nu \in \mathbb {R} }$ d'une fonction ${\displaystyle f:E\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ de la manière suivante :

C'est un ensemble convexe, lorsque ${\displaystyle f}$ est convexe. Le résultat suivant montre que, pour les fonctions de ${\displaystyle \operatorname {C{\overline {onv}}} (E)}$, ces ensembles de sous-niveau ont tous le même cône asymptotique (s'ils sont non vides). En particulier, si l'un d'eux est borné non vide, ils sont tous bornés (éventuellement vides). Un de ces ensembles de sous-niveau est l'ensemble de ses minimiseurs :

argmin${\displaystyle f:=\{x\in E\mid f(x)\leqslant f(x'),~~\forall \,x'\in E\}=S_{\inf f}(f).}$

La fonction asymptotique permet alors de donner des conditions nécessaires et suffisantes pour que cet ensemble soit non vide et borné.

En pratique, pour montrer que ${\displaystyle f}$ a un ensemble non vide et borné de minimiseurs (point 2), on utilise le point 4 : quelle que soit la direction non nulle ${\displaystyle d}$, ${\displaystyle f^{\infty }(d)>0}$. Comme souvent en analyse convexe, on obtient une propriété globale (la bornitude de l'ensemble des minimiseurs) à partir de propriétés unidirectionnelles (la stricte positivité de la fonction asymptotique dans toutes les directions non nulles).

Voici un résultat permettant de calculer, dans certains cas, la fonction asymptotique d'une composition convexe de fonctions convexes[3] : la règle rappelle celle de la dérivation en chaîne.