Fonction Cauchy-continue

Soient X et Y deux espaces métriques. Une application f de X dans Y est dite Cauchy-continue si pour toute suite de Cauchy (x_n) dans X, la suite (f(x_n)) dans Y est de Cauchy.

Toute application uniformément continue est Cauchy-continue et toute application Cauchy-continue est continue, et ces deux implications sont strictes[1] - [2]. Cependant, toute fonction continue sur un espace complet est Cauchy-continue.

Toute application Cauchy-continue sur une partie A de X et à valeurs dans un espace complet s'étend continûment (de façon évidemment unique) à l'adhérence de A dans X, et ce prolongement est encore Cauchy-continu[1] - [2].

D'après les propriétés ci-dessus, sur ℝ (muni de la distance usuelle) qui est complet, les applications Cauchy-continues sont simplement les applications continues tandis que sur le sous-espace ℚ, seules les applications admettant un prolongement continu à ℝ sont Cauchy-continues. Par exemple sur ℚ, la fonction caractéristique de l'ensemble des rationnels supérieurs à √2 est continue mais pas Cauchy-continue, tandis que l'application qui à tout rationnel p/q (avec q > 0 et p entiers) associe la racine q-ième de la puissance p-ième d'un réel fixé a > 0 est Cauchy-continue, ce qui permet par prolongement de définir sur ℝ la fonction exponentielle de base a.

Toute application linéaire continue entre deux espaces vectoriels normés est uniformément continue (et même lipschitzienne) donc Cauchy-continue. Plus généralement, dans le même contexte, toute application multilinéaire continue est Cauchy-continue car lipschitzienne sur toute partie bornée (la preuve est analogue à celle de la continuité de loi externe de K×E dans E).

Une suite y = (y₁, y₂, y₃, …) dans Y est de Cauchy si et seulement si l'application f de {1, 1/2, 1/3, …} dans Y définie par f(1/n) = y_n est Cauchy-continue. Si Y est complet, le prolongement continu de f à {1, 1/2, 1/3, … , 0} envoie alors 0 sur la limite de y.

On peut définir de même la continuité de Cauchy sur des espaces plus généraux que les espaces métriques, à condition de remplacer les suites par des suites généralisées et les suites de Cauchy par des suites généralisées de Cauchy. Une application f de X dans Y est donc Cauchy-continue si et seulement si pour tout filtre de Cauchy F sur X, le filtre f(F) sur Y est de Cauchy. Cette définition vaut pour des espaces uniformes — ou plus généralement des espaces de Cauchy (en) — et coïncide avec la précédente lorsque leur structure est induite par une distance.

Tout ensemble ordonné filtrant A possède une structure naturelle d'espace de Cauchy. Les fonctions Cauchy-continues de A dans Y sont alors les suites généralisées de Cauchy dans Y indexées par A. Si Y est complet, le prolongement d'une telle fonction à A∪{∞} envoie ∞ sur la limite de la suite généralisée. (L'exemple ci-dessus avec des suites est un cas particulier.)