Développement de Von Mises

Pour un jeu de données ${\displaystyle X=(X_{1},\ldots ,X_{n})}$ comprenant ${\displaystyle n}$ observations :

• la moyenne s'écrit classiquement comme ${\displaystyle M(X)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$. La fonctionnelle associée s'écrit : ${\displaystyle M(F)=\int t\mathrm {d} F(t)}$ où ${\displaystyle \mathrm {d} F}$ est la densité de probabilité associée à ${\displaystyle F}$.
• la variance s'écrit classiquement comme ${\displaystyle V(X)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-M(X))^{2}}$, la fonctionnelle associée s'écrit : ${\displaystyle V(F)=\int (t-M(F))^{2}\mathrm {d} F(t)}$.
• le ${\displaystyle \alpha }$-quantile de ${\displaystyle X}$ s'écrit comme ${\displaystyle Q_{\alpha }(X)=\inf \left\{x\in \mathbb {R}$ :{\frac {\mathrm {card} \{X_{i}:X_{i}\leq x\}}{n}}\geq \alpha \right\}} (plus petite valeur ${\displaystyle x}$ telle qu'une proportion d'au moins ${\displaystyle \alpha }$ des données lui soit supérieure). La fonctionnelle associée s'écrit ${\displaystyle Q(F)=F^{-1}(\alpha )}$ où ${\displaystyle F}$ est identifiée à sa fonction de répartition (au cas, où ${\displaystyle F^{-1}(\alpha )}$ n'est pas unique, on peut prendre ${\displaystyle \inf \,F^{-1}(\{\alpha \})}$, le plus petit antécédent de ${\displaystyle \alpha }$ par ${\displaystyle F}$).

• Dérivée de la moyenne : ${\displaystyle \mathrm {d} _{1}M(F_{0},F-G)=M(F)-M(F_{0})}$. Les dérivées d'ordre supérieur sont égales à 0.
• Dérivée de la variance : ${\displaystyle \mathrm {d} _{1}V(F_{0},F-F_{0})=\int x^{2}\mathrm {d} F(x)-\int x^{2}\mathrm {d} F_{0}(x)+2M(F)^{2}-2M(F)M(F_{0})}$.

Il existe en réalité plusieurs notions de dérivées pour les fonctionnelles. La dérivée, définie telle qu'au-dessus, correspond à la dérivée de Gateaux, ou dérivée directionnelle. On peut aussi définir la dérivée de Fréchet, ou dérivée fonctionnelle, d'une statistique fonctionnelle ${\displaystyle T}$. Cette dérivée est l'unique application linéaire ${\displaystyle \mathrm {d} T_{F}}$ telle que

${\displaystyle T(G)=T(F)+\mathrm {d} T_{F}(F-G)+{\mathcal {O}}(\|F-G\|)}$

où ${\displaystyle \|\cdot \|}$ désigne la norme infini. Dans le cas où les dérivées au sens de Fréchet et au sens de Gateaux existent toutes les deux, elles coïncident nécessairement:

${\displaystyle \mathrm {d} T_{F}(F-G)=\mathrm {d} _{1}T(F,F-G)}$.

Cela permet de justifier que la dérivée de Gateaux est linéaire par rapport à ${\displaystyle F-G}$, puisque ${\displaystyle \mathrm {d} T_{F}}$ est linéaire.

Comme la dérivée de Gateaux se ramène à une dérivée unidimensionnelle calculable en utilisant les règles basiques de dérivation, elle est d'un meilleur usage pratique.

Dans de nombreux cas, la dérivée de ${\displaystyle T}$ en ${\displaystyle F_{0}}$ dans la direction de ${\displaystyle F}$ peut s'écrire ${\displaystyle \mathrm {d} _{1}T(F_{0},F-F_{0})=\int h_{F_{0}}(x)(\mathrm {d} F(x)-\mathrm {d} F_{0}(x))}$. La fonction ${\displaystyle h_{F_{0}}}$ est alors appelée la fonction d'influence de la statistique ${\displaystyle T}$ en ${\displaystyle F_{0}}$. La définition de ${\displaystyle h_{F_{0}}(x)}$ est d'ailleurs très similaire à celle de la dérivée de ${\displaystyle T}$ : la distribution ${\displaystyle F}$ y est simplement remplacée par une distribution de Dirac centrée en ${\displaystyle x}$.

Supposons que l'échantillon ${\displaystyle X=(X_{1},\ldots ,X_{n})}$ soit composé de ${\displaystyle n}$ variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées suivant une distribution ${\displaystyle F}$.

Alors, sous certaines conditions de régularité, si le terme d'ordre 1 du développement de Von Mises de ${\displaystyle T}$ en ${\displaystyle F}$ est non nul, ${\displaystyle T(X)}$ sera asymptotiquement normale.

Pour s'en rendre compte informellement, il suffit de se rappeler que ${\displaystyle T(X)=T(\mathbb {P} _{n})}$ où ${\displaystyle \mathbb {P} _{n}={\frac {1}{n}}\sum \Delta _{X_{i}}}$est la distribution empirique de ${\displaystyle X}$, puis d'écrire le développement de Von Mises au voisinage de ${\displaystyle F}$ :

${\displaystyle {\begin{array}{ccl}T(\mathbb {P} _{n})&\approx &T(F)+\mathrm {d} _{1}T(F,\mathbb {P} _{n}-F)\\&\approx &T(F)+\mathrm {d} _{1}T(F,{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\Delta _{X_{i}}-F)\\&\approx &T(F)+\mathrm {d} _{1}T\left(F,{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(\Delta _{X_{i}}-F)\right)\\&\approx &T(F)+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathrm {d} _{1}T\left(F,(\Delta _{X_{i}}-F)\right)\end{array}}}$

en utilisant la linéarité de ${\displaystyle \mathrm {d} _{1}T(F,\cdot )}$. Puisque les ${\displaystyle X_{i}}$sont indépendants et identiquement distribués, ${\displaystyle \mathrm {d} _{1}T(F,\Delta _{X_{i}}-F)}$ le sont aussi le théorème central limite s'applique et indique que ${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathrm {d} _{1}T\left(F,(\Delta _{X_{i}}-F)\right)}$ est asymptotiquement normalement distribué, et donc ${\displaystyle T(X)}$ aussi.

Lorsque le premier terme non nul du développement de Von Mises est le second terme, sous certaines conditions de régularité, la distribution asymptotique de ${\displaystyle T(X)}$ peut s'écrire comme une combinaison linéaire de variables aléatoires indépendantes distribuées suivant une loi du χ² à un degré de liberté.

Lorsque le premier terme non nul du développement de Von Mises est le troisième ou plus, il existe des expressions plus complexes de la distribution asymptotique de ${\displaystyle T(X)}$. Toutefois, ces distributions ne s'expriment pas simplement en utilisant des lois de probabilité usuelles[3].