Coefficient de Clebsch-Gordan

Les opérateurs de moment angulaire sont les opérateurs hermitiens ${\displaystyle j_{1},j_{2}}$ et ${\displaystyle j_{3}}$ qui vérifient les relations suivantes :

${\displaystyle \left[j_{k},j_{l}\right]=ih/(2\pi )\sum _{m=1}^{3}\varepsilon _{klm}j_{m}\,}$

avec ${\displaystyle \varepsilon _{klm}}$ le symbole de Levi-Civita. Ces trois termes peuvent être considérés comme les composantes d'un opérateur vectoriel ${\displaystyle \mathbf {j} }$. Le carré de la norme de ${\displaystyle \mathbf {j} }$ est défini par :

${\displaystyle \mathbf {j} ^{2}=j_{1}^{2}+j_{2}^{2}+j_{3}^{2}}$

On définit également les opérateurs ${\displaystyle (j_{+})}$ et ${\displaystyle (j_{-})}$ par :

${\displaystyle j_{\pm }=j_{1}\pm ij_{2}.\,}$

On peut montrer que ${\displaystyle \mathbf {j} ^{2}}$ commute avec ${\displaystyle j_{1},j_{2}}$ et ${\displaystyle j_{3}}$ :

${\displaystyle \left[\mathbf {j} ^{2},j_{k}\right]=0}$ avec k = 1,2,3.

Lorsque deux opérateurs hermitiens commutent, ils possèdent un ensemble commun de fonctions propres. Par convention, on choisit ${\displaystyle \mathbf {j} ^{2}}$ et ${\displaystyle j_{3}}$. D'après les relations de commutation, on détermine les valeurs propres :

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathbf {j} ^{2}|jm\rangle =j\left(j+1\right)|jm\rangle &\;\;\;j=0,1/2,1,3/2,2,\ldots \\j_{3}|jm\rangle =m|jm\rangle &\;\;\;m=-j,-j+1,\ldots ,j.\end{alignedat}}}$

Les opérateurs ${\displaystyle (j_{+})}$ et ${\displaystyle (j_{-})}$ changent la valeur de ${\displaystyle m}$ :

${\displaystyle j_{\pm }|jm\rangle =C_{\pm }\left(j,m\right)|jm\pm 1\rangle }$

avec

${\displaystyle C_{\pm }\left(j,m\right)={\sqrt {j\left(j+1\right)-m\left(m\pm 1\right)}}={\sqrt {\left(j\mp m\right)\left(j\pm m+1\right)}}.}$

Un facteur de déphasage (complexe) peut être ajouté à la définition de ${\displaystyle C_{\pm }\left(j,m\right)}$. Les états de moment angulaire doivent être orthogonaux — car leurs valeurs propres sont distinctes — et sont supposés normalisés :

${\displaystyle \langle j_{1}m_{1}|j_{2}m_{2}\rangle =\delta _{j_{1},j_{2}}\delta _{m_{1},m_{2}}.}$

Les états de moment angulaire peuvent être développés en les supposant non-couplés :

${\displaystyle |\left(j_{1}j_{2}\right)JM\rangle =\sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}|j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}\rangle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle }$

Les coefficients qui apparaissent dans le développement, notés ${\displaystyle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle }$, sont les coefficients de Clebsch-Gordan.

En appliquant l'opérateur :

${\displaystyle J_{3}=j_{3}\otimes 1+1\otimes j_{3}}$

des deux côtés de l'égalité, on montre que les coefficients de Clebsch-Gordan peuvent ne pas être nuls seulement lorsque :

${\displaystyle M=m_{1}+m_{2}.\,}$

On peut introduire la notation alternative, mais équivalente, suivante :

${\displaystyle \langle JM|j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}\rangle \equiv \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle }$

Il est alors possible d'établir deux relations d'orthogonalité :

${\displaystyle \sum _{J=|j_{1}-j_{2}|}^{j_{1}+j_{2}}\sum _{M=-J}^{J}\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle \langle JM|j_{1}m_{1}'j_{2}m_{2}'\rangle =\delta _{m_{1},m_{1}'}\delta _{m_{2},m_{2}'}}$

${\displaystyle \sum _{m_{1}m_{2}}\langle JM|j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}\rangle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|J'M'\rangle =\delta _{J,J'}\delta _{M,M'}}$

La relation de symétrie suivante est toujours valable :

${\displaystyle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle =\left(-1\right)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{1}{-m_{1}}j_{2}{-m_{2}}|J{-M}\rangle =\left(-1\right)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{2}m_{2}j_{1}m_{1}|JM\rangle .}$

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Clebsch–Gordan coefficients » (voir la liste des auteurs).

• (en) Calculateur des coefficients de Clebsch-Gordan, des coefficients 3-j et 6-j.
• (en) site web pour calculer les coefficients de Clebsch-Gordan pour SU(N)

• C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloë, Mécanique quantique [détail de l’édition]
• Albert Messiah, Mécanique quantique [détail des éditions]
• (en) Edmonds, A. R. : « Angular Momentum in Quantum Mechanics », Princeton University Press (1957). (ISBN 0-691-07912-9).
• (en) Condon, Edward U., Shortley, G. H. : « The Theory of Atomic Spectra », Cambridge University Press (1970). (ISBN 0-521-09209-4).
• (en) Brink, D. M., Satchler, G. R. : Angular Momentum, 3^e édition, Clarendon Press (1993), Oxford. (ISBN 0-19-851759-9).
• (en) Zare, Richard N. : Angular Momentum, John Wiley & Sons (1988), New York. (ISBN 0-471-85892-7).
• (en) Biedenharn, L. C., Louck, J. D., Angular Momentum in Quantum Physics, Addison-Wesley (1981), Reading, Massachusetts. (ISBN 0-201-13507-8).